Векторът е важен геометричен обект, с помощта на неговите свойства е удобно да се решават много проблеми в равнината и в пространството. В тази статия ще го дефинираме, ще разгледаме основните му характеристики и също така ще покажем как може да се използва вектор в пространството за дефиниране на равнини.
Какво е вектор: двуизмерен случай
На първо място е необходимо ясно да се разбере за какъв обект говорим. В геометрията насоченият сегмент се нарича вектор. Като всеки сегмент, той се характеризира с два основни елемента: начална и крайна точки. Координатите на тези точки определят еднозначно всички характеристики на вектора.
Нека разгледаме пример за вектор върху равнина. За да направите това, рисуваме две взаимно перпендикулярни оси x и y. Нека маркираме произволна точка P(x, y). Ако свържем тази точка с началото (точка O) и след това посочим посоката към P, тогава получаваме вектора OP¯ (по-нататък в статията лентата над символа показва, че разглеждаме вектор). Векторната рисунка върху равнината е показана по-долу.
Тук е показан и друг вектор AB¯ и можете да видите, че неговите характеристики са точно същите като OP¯, но е в различна част на координатната система. Чрез паралелен превод OP¯ можете да получите безкраен брой вектори със същите свойства.
Вектор в пространството
Всички реални обекти, които ни заобикалят, са в триизмерно пространство. Изучаването на геометричните свойства на триизмерните фигури се занимава със стереометрията, която оперира с концепцията за триизмерни вектори. Те се различават от двуизмерните само по това, че тяхното описание изисква допълнителна координата, която се измерва по третия перпендикуляр x и y оси z.
Фигурата по-долу показва вектор в пространството. Координатите на края му по всяка ос са обозначени с цветни сегменти. Началото на вектора се намира в пресечната точка на трите координатни оси, тоест има координати (0; 0; 0).
Тъй като вектор в равнина е специален случай на пространствено насочен сегмент, в статията ще разгледаме само триизмерен вектор.
Векторни координати въз основа на известни координати на неговото начало и край
Да предположим, че има две точки P(x1; y1; z1) и Q(x2; y2; z2). Как да определим координатите на вектора PQ¯. Първо, необходимо е да се договорим коя от точките ще бъде началото и коя края на вектора. В математиката е обичайно въпросният обект да се пише по неговата посока, тоест P е началото, Q- край. Второ, координатите на вектора PQ¯ се изчисляват като разлика между съответните координати на края и началото, тоест:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Забележете, че при промяна на посоката на вектора, неговите координати ще променят знака, както следва:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Това означава PQ¯=-QP¯.
Важно е да разберете още нещо. По-горе беше казано, че в равнината има безкраен брой вектори, равни на дадения. Този факт е валиден и за пространствения случай. Всъщност, когато изчислихме координатите на PQ¯ в примера по-горе, ние извършихме операцията на паралелно преместване на този вектор по такъв начин, че произходът му да съвпадне с началото. Вектор PQ¯ може да бъде начертан като насочен сегмент от началото до точка M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Векторни свойства
Като всеки геометричен обект, векторът има някои присъщи характеристики, които могат да се използват за решаване на проблеми. Нека ги изброим накратко.
Векторният модул е дължината на насочения сегмент. Познавайки координатите, е лесно да ги изчислите. За вектора PQ¯ в примера по-горе модулът е:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Векторен модул е включенравнината се изчислява по подобна формула, само без участието на третата координата.
Сборът и разликата на векторите се извършват според правилото на триъгълника. Фигурата по-долу показва как да добавяте и изваждате тези обекти.
За да получите вектора на сумата, добавете началото на втория към края на първия вектор. Желаният вектор ще започне в началото на първия и ще завърши в края на втория вектор.
Разликата се извършва, като се има предвид факта, че изваденият вектор се заменя с противоположния и след това се изпълнява описаната по-горе операция на събиране.
Освен събирането и изваждането е важно да можете да умножите вектор по число. Ако числото е равно на k, тогава се получава вектор, чийто модул е k пъти различен от първоначалния, а посоката е или същата (k>0) или противоположна на оригиналната (k<0).
Операцията за умножение на векторите помежду си също е дефинирана. Ще отделим отделен параграф за него в статията.
Скаларно и векторно умножение
Да предположим, че има два вектора u¯(x1; y1; z1) и v¯(x2; y2; z2). Вектор по вектор може да се умножи по два различни начина:
- Скалар. В този случай резултатът е число.
- Вектор. Резултатът е някакъв нов вектор.
Скаларното произведение на векторите u¯ и v¯ се изчислява, както следва:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Където α е ъгълът между дадените вектори.
Може да се покаже, че като се знаят координатите u¯ и v¯, техният точков продукт може да се изчисли по следната формула:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Скаларният продукт е удобен за използване при разлагане на вектор на два перпендикулярно насочени сегмента. Използва се също за изчисляване на успоредността или ортогоналността на векторите и за изчисляване на ъгъла между тях.
Кръстосаното произведение на u¯ и v¯ дава нов вектор, който е перпендикулярен на оригиналните и има модул:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Посоката надолу или нагоре на новия вектор се определя от правилото на дясната ръка (четири пръста на дясната ръка са насочени от края на първия вектор към края на втория, а палецът стърчи нагоре показва посоката на новия вектор). Фигурата по-долу показва резултата от кръстосаното произведение за произволни a¯ и b¯.
Кръстосаното произведение се използва за изчисляване на площите на фигурите, както и за определяне на координатите на вектор, перпендикулярен на дадена равнина.
Векторите и техните свойства са удобни за използване при дефиниране на уравнението на равнина.
Нормално и общо уравнение на равнината
Има няколко начина за дефиниране на равнина. Едно от тях е извеждането на общото уравнение на равнината, което следва директно от познаването на вектора, перпендикулярен на нея и известна точка, която принадлежи на равнината.
Да приемем, че има вектор n¯ (A; B; C) и точка P (x0; y0; z 0). Кое условие ще удовлетвори всички точки Q(x; y; z) от равнината? Това условие се състои в перпендикулярността на всеки вектор PQ¯ спрямо нормалата n¯. За два перпендикулярни вектора точковият продукт става нула (cos(90o)=0), напишете това:
(n¯PQ¯)=0 или
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Отваряйки скобите, получаваме:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 или
Ax + By + Cz +D=0, където D=-Ax0-By0-Cz0.
Това уравнение се нарича общо за равнината. Виждаме, че коефициентите пред x, y и z са координатите на перпендикулярния вектор n¯. Нарича се справочник за самолет.
Векторно параметрично уравнение на равнината
Вторият начин да дефинирате равнина е да използвате два вектора, лежащи в нея.
Да приемем, че има вектори u¯(x1; y1; z1) и v¯(x2; y2; z2). Както беше казано, всеки от тях в пространството може да бъде представен от безкраен брой еднакви насочени сегменти, следователно е необходима още една точка за еднозначно определяне на равнината. Нека тази точка е P(x0;y0; z0). Всяка точка Q(x; y; z) ще лежи в желаната равнина, ако векторът PQ¯ може да бъде представен като комбинация от u¯ и v¯. Тоест имаме:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Където α и β са някои реални числа. От това равенство следва израза:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Тя се нарича параметрично векторно уравнение на равнината по отношение на 2 вектора u¯ и v¯. Замествайки произволни параметри α и β, можете да намерите всички точки (x; y; z), принадлежащи на тази равнина.
От това уравнение е лесно да се получи общият израз за равнината. За да направите това, достатъчно е да намерите вектора на посоката n¯, който ще бъде перпендикулярен на двата вектора u¯ и v¯, тоест трябва да се приложи техния векторен продукт.
Проблемът за определяне на общото уравнение на равнината
Нека покажем как да използваме горните формули за решаване на геометрични задачи. Да предположим, че векторът на посоката на равнината е n¯(5; -3; 1). Трябва да намерите уравнението на равнината, като знаете, че точката P(2; 0; 0) й принадлежи.
Общото уравнение се записва като:
Ax + By + Cz +D=0.
Тъй като векторът, перпендикулярен на равнината е известен, уравнението ще приеме формата:
5x - 3y + z +D=0.
Остава да намерим свободния член D. Изчисляваме го от познаването на координатите P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
По този начин желаното уравнение на равнината има формата:
5x - 3y + z -10=0.
Фигурата по-долу показва как изглежда получената равнина.
Посочените координати на точките съответстват на пресечните точки на равнината с осите x, y и z.
Проблемът за определяне на равнината чрез два вектора и точка
Сега да предположим, че предишната равнина е дефинирана по различен начин. Известни са два вектора u¯(-2; 0; 10) и v¯(-2; -10/3; 0), както и точката P(2; 0; 0). Как да напиша равнинното уравнение във векторна параметрична форма? Използвайки разглежданата съответна формула, получаваме:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Забележете, че дефинициите на това уравнение на равнината, векторите u¯ и v¯ могат да бъдат взети абсолютно всякакви, но с едно условие: те не трябва да са успоредни. В противен случай равнината не може да бъде еднозначно определена, но може да се намери уравнение за греда или набор от равнини.
