За да се определи успоредността и перпендикулярността на равнините, както и да се изчислят разстоянията между тези геометрични обекти, е удобно да се използват един или друг тип числови функции. За какви задачи е удобно да се използва уравнението на равнината в сегменти? В тази статия ще разгледаме какво представлява и как да го използваме в практически задачи.
Какво е уравнение в линейни сегменти?
Равнината може да бъде дефинирана в 3D пространство по няколко начина. В тази статия някои от тях ще бъдат дадени при решаване на задачи от различен тип. Тук даваме подробно описание на уравнението в сегменти от равнината. Обикновено има следната форма:
x/p + y/q + z/r=1.
Където символите p, q, r означават някои специфични числа. Това уравнение може лесно да се преведе в общ израз и в други форми на числови функции за равнината.
Удобството при записването на уравнението на сегменти се състои във факта, че то съдържа изричните координати на пресечната точка на равнината с перпендикулярни координатни оси. По оста xспрямо началото, равнината отрязва сегмент с дължина p, по оста y - равна на q, на z - с дължина r.
Ако някоя от трите променливи не се съдържа в уравнението, тогава това означава, че равнината не минава през съответната ос (математиците казват, че тя пресича в безкрайност).
След това ето някои проблеми, в които ще покажем как да работим с това уравнение.
Общуване на общото и в сегменти от уравнения
Известно е, че равнината е дадена от следното равенство:
2x - 3y + z - 6=0.
Необходимо е да запишете това общо уравнение на равнината на сегменти.
Когато възникне подобен проблем, трябва да следвате тази техника: прехвърляме свободния член в дясната страна на равенството. След това разделяме цялото уравнение на този член, опитвайки се да го изразим във формата, дадена в предишния параграф. Имаме:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Получихме в отсечките уравнението на равнината, дадено първоначално в общ вид. Прави впечатление, че равнината отрязва сегменти с дължини 3, 2 и 6 съответно за осите x, y и z. Оста y пресича равнината в зоната с отрицателни координати.
Когато съставяте уравнение на сегменти, важно е всички променливи да се предхождат от знак "+". Само в този случай числото, на което е разделена тази променлива, ще покаже отсечената координата по оста.
Нормален вектор и точка в равнината
Известно е, че някаква равнина има вектор на посоката (3; 0; -1). Известно е също, че минава през точката (1; 1; 1). За тази равнина напишете уравнение на сегменти.
За да решите този проблем, първо трябва да използвате общата форма за този двуизмерен геометричен обект. Общата форма се записва като:
Ax + By + Cz + D=0.
Първите три коефициента тук са координатите на направляващия вектор, който е посочен в формулировката на проблема, тоест:
A=3;
B=0;
C=-1.
Остава да се намери свободният термин D. Може да се определи по следната формула:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Където координатните стойности с индекс 1 съответстват на координатите на точка, принадлежаща на равнината. Заместваме техните стойности от условието на задачата, получаваме:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Сега можете да напишете пълното уравнение:
3x - z - 2=0.
Техниката за преобразуване на този израз в уравнение в сегменти от равнината вече беше демонстрирана по-горе. Приложете го:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Отговорът на проблема е получен. Имайте предвид, че тази равнина пресича само осите x и z. За y е успоредно.
Две прави линии, определящи равнина
От курса по пространствена геометрия всеки ученик знае, че две произволни прави еднозначно дефинират равнина втриизмерно пространство. Нека решим подобен проблем.
Познати са две уравнения на правите:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Необходимо е да запишете уравнението на равнината на отсечки, минаващи през тези линии.
Тъй като и двете линии трябва да лежат в равнината, това означава, че техните вектори (направляващи) трябва да са перпендикулярни на вектора (водач) за равнината. В същото време е известно, че векторното произведение на произволни два насочени сегмента дава резултата под формата на координати на третия, перпендикулярен на двата оригинални. Като се има предвид това свойство, получаваме координатите на вектор, нормален към желаната равнина:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Тъй като може да се умножи по произволно число, това образува нов насочен сегмент, успореден на оригиналния, можем да заменим знака на получените координати с противоположния (умножим по -1), получаваме:
(1; 2; 1).
Ние знаем вектора на посоката. Остава да вземем произволна точка от една от правите линии и да съставим общото уравнение на равнината:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Превеждайки това равенство в израз на сегменти, получаваме:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
По този начин равнината пресича и трите оси в положителната област на координатната система.
Три точки и равнина
Точно като две прави линии, три точки определят равнина уникално в триизмерното пространство. Пишем съответното уравнение на сегменти, ако са известни следните координати на точки, лежащи в равнината:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Нека направим следното: да изчислим координатите на два произволни вектора, свързващи тези точки, след това да намерим вектора n¯ нормален към равнината, като изчислим произведението на намерените насочени сегменти. Получаваме:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Вземете точката P като пример, съставете уравнението на равнината:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 или z=0.
Получихме прост израз, който съответства на xy равнината в дадената правоъгълна координатна система. Не може да се запише на отсечки, тъй като осите x и y принадлежат на равнината, а дължината на сегмента, отрязан по оста z, е нула (точката (0; 0; 0) принадлежи на равнината).
