Често във физиката трябва да се решават задачи за изчисляване на равновесието в сложни системи, които имат много действащи сили, лостове и оси на въртене. В този случай е най-лесно да се използва понятието момент на сила. Тази статия предоставя всички необходими формули с подробни обяснения, които трябва да се използват за решаване на проблеми от посочения тип.
За какво ще говорим?
Много хора вероятно са забелязали, че ако действате с някаква сила върху обект, фиксиран в определена точка, той започва да се върти. Ярък пример е вратата към къщата или към стаята. Ако го хванете за дръжката и натиснете (приложете сила), той ще започне да се отваря (завъртете пантите си). Този процес е проявление в ежедневието на действието на физическо количество, което се нарича момент на сила.
От описания пример с вратата следва, че въпросната стойност показва способността на силата да се върти, което е нейното физическо значение. Също и тази стойностсе нарича момент на усукване.
Определяне на момента на сила
Преди да определим разглежданото количество, нека направим проста снимка.
И така, фигурата показва лост (син), който е фиксиран върху оста (зелен). Този лост има дължина d, а към края му е приложена сила F. Какво ще се случи със системата в този случай? Точно така, лостът ще започне да се върти обратно на часовниковата стрелка, когато се гледа отгоре (имайте предвид, че ако разтегнете малко въображението си и си представите, че изгледът е насочен отдолу към лоста, тогава той ще се върти по посока на часовниковата стрелка).
Нека точката на закрепване на оста се нарича O, а точката на приложение на силата - P. Тогава можем да напишем следния математически израз:
OP¯ F¯=M¯FO.
Където OP¯ е векторът, който е насочен от оста към края на лоста, той също се нарича лост за сила, F¯е векторът приложена сила към точка P, а M¯FO е моментът на сила около точка O (ос). Тази формула е математическата дефиниция на въпросното физическо количество.
Посока на момента и правило на дясната ръка
Изразът по-горе е кръстосано произведение. Както знаете, неговият резултат също е вектор, който е перпендикулярен на равнината, минаваща през съответните умножителни вектори. Това условие се удовлетворява от две посоки на стойността M¯FO (надолу и нагоре).
До уникалноза да се определи, трябва да се използва така нареченото правило за дясна ръка. Може да се формулира по следния начин: ако огънете четири пръста на дясната си ръка в половин дъга и насочите тази половин дъга, така че да върви по първия вектор (първият фактор във формулата) и да отиде до края на вторият, тогава палецът, издаден нагоре, ще покаже посоката на момента на усукване. Имайте предвид също, че преди да използвате това правило, трябва да зададете умножените вектори така, че да излизат от една и съща точка (произходът им трябва да съвпада).
В случая на фигурата в предишния параграф можем да кажем, като приложим правилото на дясната ръка, че моментът на сила спрямо оста ще бъде насочен нагоре, тоест към нас.
Освен маркирания метод за определяне на посоката на вектора M¯FO, има още два. Ето ги:
- Моментът на усукване ще бъде насочен по такъв начин, че ако погледнете въртящия се лост от края на неговия вектор, последният ще се движи срещу часовника. Общоприето е тази посока на момента да се счита за положителна при решаване на различни видове проблеми.
- Ако завъртите джантата по посока на часовниковата стрелка, въртящият момент ще бъде насочен към движението (задълбочаването) на джипа.
Всички горни дефиниции са еквивалентни, така че всеки може да избере това, което е удобно за него.
И така, беше установено, че посоката на момента на силата е успоредна на оста, около която се върти съответният лост.
Наклонена сила
Разгледайте снимката по-долу.
Тук също виждаме лост с дължина L, фиксиран в точка (означена със стрелка). Върху него действа сила F, но тя е насочена под определен ъгъл Φ (phi) спрямо хоризонталния лост. Посоката на момента M¯FO в този случай ще бъде същата като на предишната фигура (за нас). За да изчислите абсолютната стойност или модула на това количество, трябва да използвате свойството кръстосано произведение. Според него за разглеждания пример можете да напишете израза: MFO=LFsin(180 o -Φ) или, използвайки свойството синус, пренаписваме:
MFO=LFsin(Φ).
Фигурата също така показва завършен правоъгълен триъгълник, чиито страни са самият лост (хипотенуза), линията на действие на силата (катет) и страната с дължина d (вторият крак). Като се има предвид, че sin(Φ)=d/L, тази формула ще приеме формата: MFO=dF. Вижда се, че разстоянието d е разстоянието от точката на закрепване на лоста до линията на действие на силата, тоест d е лостът на силата.
И двете формули, разгледани в този параграф, които следват директно от дефиницията на момента на усукване, са полезни при решаването на практически задачи.
Единици за въртящ момент
Използвайки дефиницията, може да се установи, че стойността MFO трябва да се измерва в нютони на метър (Nm). Наистина, под формата на тези единици, той се използва в SI.
Забележете, че Nm е единица за работа, която се изразява в джаули, като енергия. Въпреки това джаулите не се използват за концепцията за момент на сила, тъй като тази стойност отразява точно възможността за прилагане на последното. Въпреки това, има връзка с единицата на работа: ако в резултат на силата F лостът се завърти напълно около своята точка на въртене O, тогава извършената работа ще бъде равна на A=MF O 2pi (2pi е ъгълът в радиани, който съответства на 360o). В този случай единицата за въртящ момент MFO може да бъде изразена в джаули на радиан (J/rad.). Последното, заедно с Hm, също се използва в системата SI.
Теоремата на Вариньон
В края на 17-ти век френският математик Пиер Вариньон, изучавайки равновесието на системите с лостове, за първи път формулира теоремата, която сега носи неговото фамилно име. Формулира се по следния начин: общият момент на няколко сили е равен на момента на получената една сила, която се прилага към определена точка спрямо същата ос на въртене. Математически може да се запише по следния начин:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Тази теорема е удобна за използване за изчисляване на моментите на усукване в системи с множество действащи сили.
След това даваме пример за използване на горните формули за решаване на проблеми във физиката.
Проблем с гаечен ключ
Една отЯрък пример за демонстриране на важността на отчитането на момента на сила е процесът на развиване на гайките с гаечен ключ. За да развиете гайката, трябва да приложите малко въртящ момент. Необходимо е да се изчисли колко сила трябва да се приложи в точка А, за да започне отвиването на гайката, ако тази сила в точка B е 300 N (виж фигурата по-долу).
От горната фигура следват две важни неща: първо, разстоянието OB е два пъти по-голямо от OA; второ, силите FA и FBса насочени перпендикулярно на съответния лост с оста на въртене, съвпадаща с центъра на гайката (точка O).
Моментът на въртящия момент за този случай може да бъде записан в скаларен вид, както следва: M=OBFB=OAFA. Тъй като OB/OA=2, това равенство ще бъде валидно само ако FA е 2 пъти по-голямо от FB. От условието на задачата получаваме, че FA=2300=600 N. Тоест колкото по-дълъг е ключът, толкова по-лесно е да развиете гайката.
Проблем с две топки с различни маси
Фигурата по-долу показва система, която е в равновесие. Необходимо е да се намери позицията на опорната точка, ако дължината на дъската е 3 метра.
Тъй като системата е в равновесие, сумата от моментите на всички сили е равна на нула. Върху дъската действат три сили (тежестите на двете топки и силата на реакция на опората). Тъй като опорната сила не създава въртящ момент (дължината на лоста е нула), има само два момента, създадени от теглото на топките.
Нека равновесната точка е на разстояние x отръб, съдържащ топка от 100 кг. Тогава можем да запишем равенството: M1-M2=0. Тъй като теглото на тялото се определя по формулата mg, тогава имаме: m 1gx - m2g(3-x)=0. Намаляваме g и заместваме данните, получаваме: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m или 14,3 cm.
По този начин, за да бъде системата в равновесие, е необходимо да се установи референтна точка на разстояние 14,3 cm от ръба, където ще лежи топка с маса 100 kg.
