Една от фигурите, които се появяват при решаване на геометрични задачи в пространството, е конус. Той, за разлика от полиедрите, принадлежи към класа на фигурите на въртене. Нека разгледаме в статията какво се има предвид под него в геометрията и да разгледаме характеристиките на различните секции на конуса.
Конус в геометрията
Да приемем, че има някаква крива на равнината. Тя може да бъде парабола, окръжност, елипса и т.н. Вземете точка, която не принадлежи на посочената равнина, и свържете всички точки от кривата с нея. Получената повърхност се нарича конус или просто конус.
Ако оригиналната крива е затворена, тогава коничната повърхност може да бъде запълнена с материя. Така получената фигура е триизмерно тяло. Нарича се още конус. Няколко хартиени конуса са показани по-долу.
Коничната повърхност се среща в ежедневието. Например, фунийка за сладолед или райета за движение имат тази форма, която е предназначена да привлече вниманието на шофьорите ипешеходци.
Видове конуси
Както може да се досетите, разглежданите фигури се различават една от друга по вида на кривата, върху която са формирани. Например, има кръгъл конус или елипсовиден. Тази крива се нарича основа на фигурата. Формата на основата обаче не е единствената характеристика, която позволява класификацията на конусите.
Втората важна характеристика е позицията на височината спрямо основата. Височината на конуса е отсечка от права линия, която се спуска от горната част на фигурата до равнината на основата и е перпендикулярна на тази равнина. Ако височината пресича основата в геометричния център (например в центъра на окръжността), тогава конусът ще бъде прав, ако перпендикулярният сегмент падне до която и да е друга точка на основата или извън нея, тогава фигурата ще бъде наклонено.
По-нататък в статията ще разгледаме само кръгъл прав конус като ярък представител на разглеждания клас фигури.
Геометрични имена на конусни елементи
По-горе беше казано, че конусът има основа. Тя е ограничена от кръг, който се нарича водач на конуса. Сегментите, свързващи водача с точка, която не лежи в равнината на основата, се наричат генератори. Множеството от всички точки на генераторите се нарича конична или странична повърхност на фигурата. За кръгъл десен конус всички генератори имат еднаква дължина.
Точката, където се пресичат генераторите, се нарича горната част на фигурата. За разлика от многогранниците, конусът има един връх и неръб.
Права линия, минаваща през горната част на фигурата и центъра на окръжността, се нарича ос. Оста съдържа височината на прав конус, така че образува прав ъгъл с равнината на основата. Тази информация е важна при изчисляване на площта на аксиалното сечение на конуса.
Кръг прав конус - фигура на въртене
Разглежданият конус е доста симетрична фигура, която може да се получи в резултат на въртенето на триъгълника. Да предположим, че имаме триъгълник с прав ъгъл. За да получите конус, достатъчно е да завъртите този триъгълник около един от краката, както е показано на фигурата по-долу.
Може да се види, че оста на въртене е оста на конуса. Един от краката ще бъде равен на височината на фигурата, а вторият крак ще стане радиус на основата. Хипотенузата на триъгълник в резултат на въртене ще опише конична повърхност. Това ще бъде образуващата на конуса.
Този метод за получаване на кръгъл прав конус е удобен за използване за изследване на математическата връзка между линейните параметри на фигурата: височината h, радиуса на кръглата основа r и водача g. Съответната формула следва от свойствата на правоъгълния триъгълник. Посочено е по-долу:
g2=h2+ r2.
Тъй като имаме едно уравнение и три променливи, това означава, че за да зададете уникално параметрите на кръгъл конус, трябва да знаете каквито и да е две величини.
Разрези на конус от равнина, която не съдържа върха на фигурата
Въпросът за изграждане на секции на фигура не етривиално. Факт е, че формата на сечението на конуса от повърхността зависи от относителното положение на фигурата и секаната.
Да приемем, че пресичаме конуса с равнина. Какъв ще бъде резултатът от тази геометрична операция? Опциите за формата на секцията са показани на фигурата по-долу.
Розовата секция е кръг. Образува се в резултат на пресичането на фигурата с равнина, която е успоредна на основата на конуса. Това са секции, перпендикулярни на оста на фигурата. Фигурата, образувана над режещата равнина, е конус, подобен на оригиналния, но с по-малък кръг в основата.
Зелената секция е елипса. Получава се, ако режещата равнина не е успоредна на основата, а пресича само страничната повърхност на конуса. Фигура, отрязана над равнината, се нарича елипсовиден наклонен конус.
Сините и оранжевите секции са съответно параболични и хиперболични. Както можете да видите от фигурата, те се получават, ако режещата равнина пресича едновременно страничната повърхност и основата на фигурата.
За да се определят площите на сеченията на конуса, които са били разгледани, е необходимо да се използват формулите за съответната фигура на равнината. Например, за кръг това е числото Pi, умножено по квадрата на радиуса, а за елипса това е произведението на Pi и дължината на малката и голямата полуос:
кръг: S=pir2;
елипса: S=piab.
Секции, съдържащи горната част на конуса
Сега разгледайте опциите за секции, които възникват, ако сечещата равнина епреминете през горната част на конуса. Възможни са три случая:
- Разделът е една точка. Например, равнина, минаваща през върха и успоредна на основата, дава точно такова сечение.
- Секцията е права линия. Тази ситуация възниква, когато равнината е допирателна към конична повърхност. Правата линия на сечението в този случай ще бъде образуващата на конуса.
- Аксиална секция. Образува се, когато равнината съдържа не само горната част на фигурата, но и цялата й ос. В този случай равнината ще бъде перпендикулярна на кръглата основа и ще раздели конуса на две равни части.
Очевидно, площите на първите два типа секции са равни на нула. Що се отнася до площта на напречното сечение на конуса за 3-ти тип, този въпрос е разгледан по-подробно в следващия параграф.
Аксиална секция
Беше отбелязано по-горе, че аксиалното сечение на конуса е фигурата, образувана, когато конусът се пресече от равнина, минаваща през неговата ос. Лесно е да се досетите, че този раздел ще представлява фигурата, показана на фигурата по-долу.
Това е равнобедрен триъгълник. Върхът на аксиалното сечение на конуса е върхът на този триъгълник, образуван от пресечната точка на еднакви страни. Последните са равни на дължината на образуващата на конуса. Основата на триъгълника е диаметърът на основата на конуса.
Изчисляването на площта на аксиалното сечение на конуса се свежда до намиране на площта на получения триъгълник. Ако първоначално са известни радиусът на основата r и височината h на конуса, тогава площта S на разглеждания участък ще бъде:
S=hr.
Товаизразът е следствие от прилагането на стандартната формула за площта на триъгълник (половината произведение на височината умножено на основата).
Забележете, че ако образуващата на конуса е равна на диаметъра на неговата кръгла основа, тогава аксиалното сечение на конуса е равностранен триъгълник.
Триъгълно сечение се образува, когато режещата равнина е перпендикулярна на основата на конуса и минава през неговата ос. Всяка друга равнина, успоредна на посочената, ще даде хипербола в сечение. Въпреки това, ако равнината съдържа върха на конуса и пресича основата му не през диаметъра, тогава полученото сечение също ще бъде равнобедрен триъгълник.
Проблемът за определяне на линейните параметри на конуса
Нека покажем как да използваме формулата, написана за площта на аксиалното сечение, за да решим геометрична задача.
Известно е, че площта на аксиалното сечение на конуса е 100 cm2. Полученият триъгълник е равностранен. Каква е височината на конуса и радиуса на основата му?
Тъй като триъгълникът е равностранен, неговата височина h е свързана с дължината на страна a, както следва:
h=√3/2a.
Като се има предвид, че страната на триъгълника е два пъти по-голям от радиуса на основата на конуса, и замествайки този израз във формулата за площта на напречното сечение, получаваме:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Тогава височината на конуса е:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Остава да се замести стойността на площта от условието на задачатаи получете отговора:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
В кои области е важно да се знаят параметрите на разглежданите секции?
Изследването на различни видове конусни сечения е не само от теоретичен интерес, но има и практически приложения.
На първо място трябва да се отбележи областта на аеродинамиката, където с помощта на конични секции е възможно да се създават идеални гладки форми на твърди тела.
Второ, коничните сечения са траектории, по които се движат космически обекти в гравитационни полета. Какъв конкретен тип сечение представлява траекторията на движението на космическите тела на системата се определя от съотношението на техните маси, абсолютни скорости и разстояния между тях.
