Геометрията е клон на математиката, който изучава структури в пространството и връзката между тях. От своя страна той също се състои от секции, като един от тях е стереометрията. Той предвижда изследване на свойствата на обемните фигури, разположени в пространството: куб, пирамида, топка, конус, цилиндър и др.
Конусът е тяло в евклидово пространство, което ограничава конична повърхност и равнина, върху която лежат краищата на неговите генератори. Образуването му става в процеса на въртене на правоъгълен триъгълник около който и да е от неговите крака, следователно той принадлежи към телата на революцията.
Конусни компоненти
Разграничават се следните видове конуси: наклонени (или наклонени) и прави. Наклонена е тази, чиято ос се пресича с центъра на основата й не под прав ъгъл. Поради тази причина височината в такъв конус не съвпада с оста, тъй като това е сегмент, който се спуска от върха на тялото до неговата равнинаоснова на 90°.
Този конус, чиято ос е перпендикулярна на основата му, се нарича прав конус. Оста и височината в такова геометрично тяло съвпадат поради факта, че върхът в него се намира над центъра на диаметъра на основата.
Конусът се състои от следните елементи:
- Кръгът, който е неговата основа.
- Отстрани.
- Точка, която не лежи в равнината на основата, наречена върха на конуса.
- Сегменти, които свързват точките на окръжността на основата на геометричното тяло и неговия връх.
Всички тези сегменти са генератриси на конуса. Те са наклонени към основата на геометричното тяло, а в случай на прав конус техните проекции са равни, тъй като върхът е на еднакво разстояние от точките на основния кръг. По този начин можем да заключим, че в правилен (прав) конус генераторите са равни, тоест имат еднаква дължина и образуват еднакви ъгли с оста (или височина) и основата.
Тъй като в наклонено (или наклонено) тяло на въртене върхът е изместен спрямо центъра на основната равнина, генераторите в такова тяло имат различни дължини и проекции, тъй като всеки от тях е на различно разстояние от всякакви две точки на основната окръжност. Освен това ъглите между тях и височината на конуса също ще бъдат различни.
Дължината на генераторите в десен конус
Както е написано по-рано, височината в право геометрично тяло на въртене е перпендикулярна на равнината на основата. Така образуващата, височината и радиусът на основата създават правоъгълен триъгълник в конуса.
Тоест, знаейки радиуса на основата и височината, използвайки формулата от Питагоровата теорема, можете да изчислите дължината на образуващата, която ще бъде равна на сумата от квадратите на радиуса на основата и височина:
l2 =r2+ h2 или l=√r 2 + h2
където l е генератор;
r – радиус;
h – височина.
Генеративно в наклонен конус
Въз основа на факта, че в наклонен или наклонен конус генераторите не са с еднаква дължина, няма да е възможно да ги изчислим без допълнителни конструкции и изчисления.
На първо място, трябва да знаете височината, дължината на оста и радиуса на основата.
Имайки тези данни, можете да изчислите частта от радиуса, лежаща между оста и височината, като използвате формулата от Питагоровата теорема:
r1=√k2 - h2
където r1 е частта от радиуса между оста и височината;
k – дължина на оста;
h – височина.
В резултат на добавяне на радиуса (r) и неговата част, лежаща между оста и височината (r1), можете да разберете цялата страна на дясната страна триъгълник, образуван от образуващата на конуса, неговата височина и част от диаметъра:
R=r + r1
където R е кракът на триъгълника, образуван от височината, образуващата и част от диаметъра на основата;
r – основен радиус;
r1 – част от радиуса между оста и височината.
Използвайки същата формула от Питагоровата теорема, можете да намерите дължината на образуващата на конуса:
l=√h2+ R2
или, без да изчислявате R отделно, комбинирайте двете формули в една:
l=√h2 + (r + r1)2.
Въпреки това дали е прав или наклонен конус и какъв вид входни данни, всички методи за намиране на дължината на образуващата винаги се свеждат до един резултат - използването на Питагоровата теорема.
конусна секция
Аксиалното сечение на конуса е равнина, минаваща по оста или височината му. В десен конус такова сечение е равнобедрен триъгълник, в който височината на триъгълника е височината на тялото, страните му са генераторите, а основата е диаметърът на основата. В равностранно геометрично тяло аксиалното сечение е равностранен триъгълник, тъй като в този конус диаметърът на основата и генераторите са равни.
Равнината на аксиалното сечение в прав конус е равнината на неговата симетрия. Причината за това е, че върхът му е над центъра на основата му, тоест равнината на аксиалното сечение разделя конуса на две еднакви части.
Тъй като височината и оста не съвпадат в наклонено тяло, равнината на аксиалното сечение може да не включва височината. Ако е възможно да се построи набор от аксиални сечения в такъв конус, тъй като за това трябва да се спазва само едно условие - той трябва да преминава само през оста, тогава само едно аксиално сечение на равнината, което ще принадлежи на височината на този конус може да бъде начертан, тъй като броят на условията се увеличава и, както е известно, две линии (заедно) могат да принадлежат насамо един самолет.
Секция
Аксиалното сечение на споменатия по-рано конус е триъгълник. Въз основа на това неговата площ може да се изчисли с помощта на формулата за площта на триъгълник:
S=1/2dh или S=1/22rh
където S е площта на напречното сечение;
d – диаметър на основата;
r – радиус;
h – височина.
В наклонен или наклонен конус сечението по оста също е триъгълник, така че площта на напречното сечение в него се изчислява по подобен начин.
Обем
Тъй като конусът е триизмерна фигура в триизмерно пространство, можем да изчислим неговия обем. Обемът на конус е число, което характеризира това тяло в обемна единица, тоест в m3. Изчислението не зависи от това дали е право или наклонено (наклонено), тъй като формулите за тези два вида тела не се различават.
Както беше посочено по-рано, образуването на десен конус се получава поради въртенето на правоъгълен триъгълник по протежение на един от неговите крака. Наклонен или наклонен конус се образува по различен начин, тъй като височината му е изместена от центъра на основната равнина на тялото. Такива разлики в структурата обаче не влияят на метода за изчисляване на обема му.
Изчисляване на обема
Формулата за обема на всеки конус изглежда така:
V=1/3πhr2
където V е обемът на конуса;
h – височина;
r – радиус;
π - константа, равна на 3, 14.
За да изчислите обема на конус, трябва да имате данни за височината и радиуса на основата на тялото.
За да изчислите височината на тялото, трябва да знаете радиуса на основата и дължината на нейната образуваща. Тъй като радиусът, височината и генериращата са комбинирани в правоъгълен триъгълник, височината може да се изчисли с помощта на формулата от Питагоровата теорема (a2+ b2=c 2 или в нашия случай h2+ r2=l2 , където l - образуваща). В този случай височината ще бъде изчислена чрез извличане на корен квадратен от разликата между квадратите на хипотенузата и другия крак:
a=√c2- b2
Тоест височината на конуса ще бъде равна на стойността, получена след извличане на квадратния корен от разликата между квадрата на дължината на образуващата и квадрата на радиуса на основата:
h=√l2 - r2
Изчислявайки височината по този метод и като знаете радиуса на основата му, можете да изчислите обема на конуса. В този случай генераторът играе важна роля, тъй като служи като спомагателен елемент при изчисленията.
По същия начин, ако знаете височината на тялото и дължината на неговата образуваща, можете да намерите радиуса на неговата основа, като извлечете квадратния корен от разликата между квадрата на образуващата и квадрата на височината:
r=√l2 - h2
След това, използвайки същата формула, както по-горе, изчислете обема на конуса.
Обем на наклонен конус
Тъй като формулата за обема на конуса е една и съща за всички видове тяло на въртене, разликата в нейното изчисление е търсенето на височина.
За да се установи височината на наклонен конус, входните данни трябва да включват дължината на генератора, радиуса на основата и разстоянието между центъраоснова и пресечната точка на височината на тялото с равнината на основата му. Знаейки това, можете лесно да изчислите тази част от диаметъра на основата, която ще бъде основата на правоъгълен триъгълник (образуван от височината, генератрисата и равнината на основата). След това, отново използвайки питагоровата теорема, изчислете височината на конуса и впоследствие неговия обем.
