На практика често възникват задачи, които изискват способността за изграждане на секции от геометрични форми с различни форми и намиране на площта на секциите. В тази статия ще разгледаме колко важни секции от призма, пирамида, конус и цилиндър са изградени и как да изчислим техните площи.
3D фигури
От стереометрията е известно, че една триизмерна фигура от абсолютно всякакъв вид е ограничена от редица повърхности. Например за такива многогранници като призма и пирамида тези повърхности са многоъгълните страни. За цилиндър и конус говорим за повърхности на въртене на цилиндрични и конични фигури.
Ако вземем равнина и произволно пресечем повърхността на триизмерна фигура, ще получим сечение. Площта му е равна на площта на частта от равнината, която ще бъде вътре в обема на фигурата. Минималната стойност на тази площ е нула, което се реализира, когато равнината докосне фигурата. Например, сечение, образувано от една точка, се получава, ако равнината минава през върха на пирамида или конус. Максималната стойност на площта на напречното сечение зависи ототносителното положение на фигурата и равнината, както и формата и размера на фигурата.
По-долу ще разгледаме как да изчислим площта на образуваните сечения за две фигури на оборот (цилиндър и конус) и два полиедра (пирамида и призма).
Цилиндър
Кръглият цилиндър е фигура на въртене на правоъгълник около която и да е от неговите страни. Цилиндърът се характеризира с два линейни параметъра: радиус на основата r и височина h. Диаграмата по-долу показва как изглежда кръгъл прав цилиндър.
Има три важни типа секции за тази фигура:
- кръгли;
- правоъгълна;
- елиптичен.
Елиптична се образува в резултат на пресичането на равнината на страничната повърхност на фигурата под някакъв ъгъл спрямо основата й. Кръглата е резултат от пресичането на режещата равнина на страничната повърхност, успоредна на основата на цилиндъра. Накрая се получава правоъгълен, ако режещата равнина е успоредна на оста на цилиндъра.
Кръговата площ се изчислява по формулата:
S1=pir2
Площта на аксиалното сечение, т.е. правоъгълна, която минава през оста на цилиндъра, се дефинира, както следва:
S2=2rh
Конус секции
Конусът е фигура на въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката. Конусът има един връх и кръгла основа. Неговите параметри са също радиус r и височина h. Пример за хартиен конус е показан по-долу.
Има няколко вида конични сечения. Нека ги изброим:
- кръгли;
- елиптичен;
- параболичен;
- хиперболичен;
- триъгълна.
Те се заменят един друг, ако увеличите ъгъла на наклон на секачната равнина спрямо кръглата основа. Най-лесният начин е да запишете формулите за площта на напречното сечение на кръгла и триъгълна.
Кръгло сечение се образува в резултат на пресичането на конична повърхност с равнина, която е успоредна на основата. За неговата площ е валидна следната формула:
S1=pir2z2/h 2
Тук z е разстоянието от горната част на фигурата до образувания участък. Може да се види, че ако z=0, тогава равнината минава само през върха, така че площта S1 ще бъде равна на нула. От z < h площта на изследваната секция винаги ще бъде по-малка от нейната стойност за основата.
Триъгълен се получава, когато равнината пресича фигурата по оста на въртене. Формата на получената секция ще бъде равнобедрен триъгълник, чиито страни са диаметърът на основата и два генератора на конуса. Как да намерите площта на напречното сечение на триъгълник? Отговорът на този въпрос ще бъде следната формула:
S2=rh
Това равенство се получава чрез прилагане на формулата за площта на произволен триъгълник през дължината на неговата основа и височина.
Призмени секции
Prism е голям клас фигури, които се характеризират с наличието на две еднакви многоъгълни бази, успоредни една на друга,свързани с паралелограми. Всяко сечение на призма е многоъгълник. С оглед на разнообразието на разглежданите фигури (наклонени, прави, n-ъгълни, правилни, вдлъбнати призми), разнообразието на техните сечения също е голямо. По-долу разглеждаме само някои специални случаи.
Ако равнината на сечение е успоредна на основата, тогава площта на напречното сечение на призмата ще бъде равна на площта на тази основа.
Ако равнината минава през геометричните центрове на двете основи, тоест е успоредна на страничните ръбове на фигурата, тогава в сечението се образува успоредник. В случай на прави и правилни призми, разглежданият изглед на сечение ще бъде правоъгълник.
Пирамида
Пирамидата е друг полиедър, който се състои от n-ъгълник и n триъгълника. Пример за триъгълна пирамида е показан по-долу.
Ако сечението е начертано от равнина, успоредна на n-ъгълната основа, тогава нейната форма ще бъде точно равна на формата на основата. Площта на такъв участък се изчислява по формулата:
S1=So(h-z)2/h 2
Където z е разстоянието от основата до равнината на сечението, So е площта на основата.
Ако режещата равнина съдържа върха на пирамидата и пресича основата й, тогава получаваме триъгълно сечение. За да изчислите неговата площ, трябва да се обърнете към използването на подходящата формула за триъгълник.
