Геометричните фигури в пространството са обект на изучаване на стереометрията, чийто курс се преминава от ученици в гимназията. Тази статия е посветена на такъв перфектен полиедър като призма. Нека разгледаме по-подробно свойствата на призмата и да дадем формулите, които служат за тяхното количествено описание.
Какво е призма?
Всеки си представя как изглежда кутия или куб. И двете фигури са призми. Класът призми обаче е много по-разнообразен. В геометрията на тази фигура се дава следното определение: призма е всеки многоедър в пространството, който е образуван от две успоредни и еднакви многоъгълни страни и няколко успоредника. Еднакви успоредни лица на фигура се наричат нейни основи (горна и долна). Паралелограмите са страничните лица на фигурата, свързващи страните на основата една с друга.
Ако основата е представена от n-ъгълник, където n е цяло число, тогава фигурата ще се състои от 2+n лица, 2n върха и 3n ръбове. Лицата и ръбовете се отнасят заедин от двата вида: или принадлежат към страничната повърхност, или към основите. Що се отнася до върховете, всички те са равни и принадлежат на основите на призмата.
Видове фигури на изучавания клас
Изучавайки свойствата на призмата, трябва да изброите възможните типове на тази фигура:
- Изпъкнала и вдлъбната. Разликата между тях се крие във формата на многоъгълната основа. Ако е вдлъбната, тогава тя също ще бъде триизмерна фигура и обратно.
- Прави и коси. За права призма страничните повърхности са или правоъгълници, или квадрати. При наклонена фигура страничните лица са успоредници от общ тип или ромби.
- Грешно и правилно. За да бъде изучавана фигурата правилна, тя трябва да е права и да има правилна основа. Пример за последното са плоски фигури като равностранен триъгълник или квадрат.
Името на призмата се формира, като се вземе предвид изброената класификация. Например, правоъгълният паралелепипед или куб, споменати по-горе, се нарича правилна четириъгълна призма. Редовните призми, поради високата си симетрия, са удобни за изследване. Техните свойства се изразяват под формата на специфични математически формули.
Площ на призмата
Когато разглеждаме такова свойство на призмата като нейната площ, те означават общата площ на всичките й лица. Най-лесно е да си представите тази стойност, ако разгънете фигурата, тоест разширите всички лица в една равнина. По-долу наФигурата показва пример за размах от две призми.
За произволна призма, формулата за площта на нейното размахване в общ вид може да бъде написана, както следва:
S=2So+ bPsr.
Нека обясним обозначението. Стойността So е площта на една основа, b е дължината на страничния ръб, Psr е периметърът на среза, който е перпендикулярна на страничните паралелограми на фигурата.
Написаната формула често се използва за определяне на площите на наклонените призми. В случай на обикновена призма, изразът за S ще приеме специфична форма:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Първият член в израза представлява площта на двете основи на правилна призма, вторият член е площта на страничните правоъгълници. Тук a е дължината на страната на правилен n-ъгълник. Обърнете внимание, че дължината на страничния ръб b за обикновена призма е и нейната височина h, така че във формулата b може да бъде заменено с h.
Как да изчислим обема на фигура?
Призмата е сравнително прост многоедър с висока симетрия. Следователно, за да се определи неговият обем, има много проста формула. Изглежда така:
V=Soh.
Изчисляването на основната площ и височината може да бъде трудно, когато гледате наклонена неправилна форма. Този проблем се решава с помощта на последователен геометричен анализ, включващ информация за двугранните ъгли между страничните паралелограми и основата.
Ако призмата е правилна, тогаваформулата за V става съвсем конкретна:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Както можете да видите, площта S и обемът V за обикновена призма са еднозначно определени, ако са известни два от нейните линейни параметъра.
Триъгълна правилна призма
Нека завършим статията, като разгледаме свойствата на обикновена триъгълна призма. Оформен е от пет лица, три от които са правоъгълници (квадрати), а две са равностранни триъгълници. Призмата има шест върха и девет ръба. За тази призма формулите за обем и повърхност са написани по-долу:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Освен тези свойства е полезно да се даде и формула за апотема на основата на фигурата, която е височината ha на равностранен триъгълник:
ha=√3/2a.
Страните на призмата са еднакви правоъгълници. Дължините на техните диагонали d са:
d=√(a2+ h2).
Познаването на геометричните свойства на триъгълната призма е от не само теоретичен, но и практически интерес. Факт е, че тази фигура, направена от оптично стъкло, се използва за изследване на радиационния спектър на телата.
Преминавайки през стъклена призма, светлината се разлага на множество компонентни цветове в резултат на явлението дисперсия, което създава условия за изследване на спектралния състав на електромагнитен поток.
