Prism е доста проста геометрична триизмерна фигура. Въпреки това някои ученици имат проблеми при определянето на основните му свойства, причината за които по правило е свързана с неправилно използвана терминология. В тази статия ще разгледаме какво представляват призмите, как се наричат и също така ще опишем подробно правилната четириъгълна призма.
Призма в геометрията
Изучаването на триизмерни фигури е задача на стереометрията - важна част от пространствената геометрия. В стереометрията под призма се разбира такава фигура, която се образува от успоредното преместване на произволен плосък многоъгълник на определено разстояние в пространството. Паралелният превод предполага движение, при което въртенето около ос, перпендикулярна на равнината на многоъгълника, е напълно изключена.
В резултат на описания метод за получаване на призма се образува фигура, ограничена от двемногоъгълници с еднакви размери, лежащи в успоредни равнини и определен брой успоредници. Техният брой съвпада с броя на страните (върховете) на многоъгълника. Еднаквите многоъгълници се наричат основи на призмата, а тяхната повърхност е площта на основите. Паралелограми, свързващи две основи, образуват странична повърхност.
Елементи на призмата и теоремата на Ойлер
Тъй като разглежданата триизмерна фигура е полиедър, тоест образувана е от набор от пресичащи се равнини, тя се характеризира с определен брой върхове, ръбове и лица. Всички те са елементи на призма.
В средата на 18-ти век швейцарският математик Леонхард Ойлер установява връзка между броя на основните елементи на полиедъра. Тази връзка се записва със следната проста формула:
Брой ръбове=брой върхове + брой лица - 2
За всяка призма това равенство е вярно. Нека дадем пример за използването му. Да предположим, че има правилна четириъгълна призма. Тя е на снимката по-долу.
Вижда се, че броят на върховете за него е 8 (4 за всяка четириъгълна основа). Броят на страните или лицата е 6 (2 основи и 4 странични правоъгълника). Тогава броят на ръбовете за него ще бъде:
Брой на ребрата=8 + 6 - 2=12
Всички те могат да бъдат преброени, ако се позовавате на една и съща снимка. Осем ръба лежат в основите, а четири ръба са перпендикулярни на тези основи.
Пълна класификация на призмите
Важно е да разберете тази класификация, за да не се объркате в терминологията по-късно и да използвате правилните формули, за да изчислите, например, повърхностната площ или обема на фигурите.
За всяка призма с произволна форма могат да се разграничат 4 характеристики, които ще я характеризират. Нека ги изброим:
- По броя на ъглите на многоъгълника в основата: триъгълен, петоъгълен, осмоъгълен и така нататък.
- Тип многоъгълник. Може да е правилно или грешно. Например, правоъгълен триъгълник е неправилен, но равностранен триъгълник е правилен.
- Според вида на изпъкналостта на многоъгълника. Тя може да бъде вдлъбната или изпъкнала. Изпъкналите призми са най-често срещаните.
- При ъглите между основите и страничните паралелограми. Ако всички тези ъгли са равни на 90o, тогава те говорят за права призма, ако не всички от тях са прави, тогава такава фигура се нарича наклонена.
От всички тези точки бих искал да се спра на последния. Правата призма се нарича още правоъгълна призма. Това се дължи на факта, че за него паралелограмите са правоъгълници в общия случай (в някои случаи те могат да бъдат квадрати).
Например, фигурата по-горе показва петоъгълна вдлъбната правоъгълна или права фигура.
Правна четириъгълна призма
Основата на тази призма е правилен четириъгълник, тоест квадрат. На фигурата по-горе вече е показано как изглежда тази призма. В допълнение към двата квадрата, които яограничаване отгоре и отдолу, включва също 4 правоъгълника.
Нека да обозначим страната на основата на правилна четириъгълна призма с буквата a, дължината на страничния й ръб ще бъде обозначена с буквата c. Тази дължина е и височината на фигурата. Тогава площта на цялата повърхност на тази призма се изразява с формулата:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Тук първият член отразява приноса на основите към общата площ, вторият член е площта на страничната повърхност.
Взимайки предвид въведените обозначения за дължините на страните, пишем формулата за обема на въпросната фигура:
V=a2c
Тоест, обемът се изчислява като произведение на площта на квадратната основа и дължината на страничния ръб.
Форма на куб
Всеки знае тази идеална триизмерна фигура, но малко хора смятат, че това е правилна четириъгълна призма, чиято страна е равна на дължината на страната на квадратната основа, тоест c=a.
За куб формулите за общата повърхност и обем ще приемат формата:
S=6a2
V=a3
Тъй като кубът е призма, състояща се от 6 еднакви квадрата, всяка паралелна двойка от тях може да се счита за основа.
Кубът е силно симетрична фигура, която в природата е реализирана под формата на кристални решетки от множество метални материали и йонни кристали. Например, решетки от злато, сребро, мед и масасолите са кубични.
