Когато изучавате абсолютно всяка пространствена фигура, е важно да знаете как да изчислите нейния обем. Тази статия предоставя формула за обема на правилна четириъгълна пирамида и също така показва как трябва да се използва тази формула, като се използва пример за решаване на задачи.
За коя пирамида говорим?
Всеки ученик от гимназията знае, че пирамидата е полиедър, състоящ се от триъгълници и многоъгълник. Последното е основата на фигурата. Триъгълниците имат една обща страна с основата и се пресичат в една точка, която е върха на пирамидата.
Всяка пирамида се характеризира с дължината на страните на основата, дължината на страничните ръбове и височината. Последният е перпендикулярен сегмент, спуснат към основата от горната част на фигурата.
Правилната четириъгълна пирамида е фигура с квадратна основа, чиято височина пресича този квадрат в центъра му. Може би най-известният пример за този тип пирамиди са древните египетски каменни конструкции. По-долу има снимкапирамидите на Хеопс.
Изследваната фигура има пет лица, четири от които са идентични равнобедрени триъгълници. Също така се характеризира с пет върха, четири от които принадлежат на основата и осем ръба (4 ръба на основата и 4 ръба на страничните лица).
Формулата за обема на четириъгълна пирамида е правилна
Обемът на въпросната фигура е част от пространството, което е ограничено от пет страни. За да изчислим този обем, използваме следната зависимост на площта на среза, успоредна на основата на пирамидата Sz от вертикалната координата z:
Sz=So (h - z/h)2
Тук So е площта на квадратната основа. Ако заместим z=h в писмения израз, тогава ще получим нулева стойност за Sz. Тази стойност на z съответства на отрязък, който ще съдържа само върха на пирамидата. Ако z=0, тогава получаваме стойността на основната площ So.
Лесно е да намерите обема на пирамида, ако знаете функцията Sz(z), за това е достатъчно да нарежете фигурата на безкраен брой слоеве, успоредни на основата, и след това извършете операцията за интегриране. Следвам тази техника, получаваме:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Защото S0 еплощта на квадратната основа, след което, обозначавайки страната на квадрата с буквата а, получаваме формулата за обема на правилна четириъгълна пирамида:
V=1/3a2h.
Сега нека използваме примери за решаване на проблеми, за да покажем как трябва да се приложи този израз.
Проблемът за определяне на обема на пирамида чрез нейния апотем и страничен ръб
Апотемата на пирамида е височината на нейния страничен триъгълник, който е спуснат отстрани на основата. Тъй като всички триъгълници са равни в правилна пирамида, техните апотеми също ще бъдат еднакви. Нека означим дължината му със символа hb. Означете страничния ръб като b.
Знаейки, че апотемът на пирамидата е 12 см, а страничният й ръб е 15 см, намерете обема на правилна четириъгълна пирамида.
Формулата за обема на фигурата, написана в предишния параграф, съдържа два параметъра: дължина на страната a и височина h. В момента не познаваме нито един от тях, така че нека да разгледаме техните изчисления.
Дължината на страната на квадрат a е лесно да се изчисли, ако използвате питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник, в който хипотенузата е ръбът b, а катетите са апотемата h b и половината от страната на основата a/2. Получаваме:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Замествайки известните стойности от условието, получаваме стойността a=18 cm.
За да изчислите височината h на пирамидата, можете да направите две неща: помислете за правоъгълниктриъгълник с хипотенуза-страничен ръб или с хипотенуза-апотема. И двата метода са равни и включват извършването на еднакъв брой математически операции. Нека се спрем на разглеждането на триъгълник, където хипотенузата е апотема hb. Краката в него ще бъдат h и a / 2. Тогава получаваме:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 см.
Сега можете да използвате формулата за обем V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 см 3.
По този начин обемът на обикновена четириъгълна пирамида е приблизително 0,86 литра.
Обемът на пирамидата на Хеопс
Сега нека решим един интересен и практически важен проблем: да намерим обема на най-голямата пирамида в Гиза. От литературата е известно, че първоначалната височина на сградата е била 146,5 метра, а дължината на основата й е 230,363 метра. Тези числа ни позволяват да приложим формулата за изчисляване на V. Получаваме:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Резултантната стойност е почти 2,6 милиона m3. Този обем съответства на обема на куб, чиято страна е 137,4 метра.
