Правилна шестоъгълна пирамида. Формули за обем и повърхност. Решение на геометрична задача

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Стереометрията, като клон на геометрията в пространството, изучава свойствата на призми, цилиндри, конуси, топки, пирамиди и други триизмерни фигури. Тази статия е посветена на подробен преглед на характеристиките и свойствата на шестоъгълна правилна пирамида.

Коя пирамида ще бъде проучена

Правилната шестоъгълна пирамида е фигура в пространството, която е ограничена от един равностранен и равноъгълен шестоъгълник и шест еднакви равнобедрени триъгълника. Тези триъгълници могат да бъдат и равностранни при определени условия. Тази пирамида е показана по-долу.

Тук е показана същата фигура, само че в единия случай е обърната със страничната си страна към четеца, а в другия - със страничния си ръб.

Правна шестоъгълна пирамида има 7 лица, които бяха споменати по-горе. Освен това има 7 върха и 12 ръба. За разлика от призмите, всички пирамиди имат един специален връх, който се образува от пресичането на страничнитетриъгълници. За правилна пирамида тя играе важна роля, тъй като перпендикулярът, спуснат от нея към основата на фигурата, е височината. Освен това височината ще бъде обозначена с буквата h.

Показаната пирамида се нарича правилна по две причини:

• в основата му е шестоъгълник с равни дължини на страните a и равни ъгли от 120o;
• Височината на пирамидата h пресича шестоъгълника точно в центъра му (точката на пресичане лежи на еднакво разстояние от всички страни и от всички върхове на шестоъгълника).

Площ на повърхността

Свойствата на правилна шестоъгълна пирамида ще се разглеждат от дефиницията на нейната площ. За да направите това, първо е полезно да разгънете фигурата на равнина. Схематично представяне на това е показано по-долу.

Вижда се, че площта на размаха и следователно цялата повърхност на разглежданата фигура е равна на сбора от площите на шест еднакви триъгълника и един шестоъгълник..

За да определите площта на шестоъгълник S_{6, използвайте универсалната формула за обикновен n-ъгъл:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Където a е дължината на страната на шестоъгълника.

Площта на триъгълник S₃ на страничната страна може да бъде намерена, ако знаете стойността на неговата височина h_b:

S₃=1/2h_ba.

Защото всичките шесттриъгълниците са равни един на друг, тогава получаваме работен израз за определяне на площта на шестоъгълна пирамида с правилната основа:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Обем на пирамидата

Точно като площта, обемът на шестоъгълна правилна пирамида е нейно важно свойство. Този обем се изчислява по общата формула за всички пирамиди и конуси. Нека го запишем:

V=1/3S_oh.

Тук символът S_o е площта на шестоъгълната основа, т.е. S_o=S _6.

Замествайки горния израз за S_{6 във формулата за V, стигаме до окончателното равенство за определяне на обема на правилна шестоъгълна пирамида:}

V=√3/2a2h.

Пример за геометричен проблем

В правилна шестоъгълна пирамида страничният ръб е два пъти по-дълъг от основната страна. Знаейки, че последното е 7 см, е необходимо да се изчисли повърхността и обема на тази фигура.

Както може да се досетите, решението на този проблем включва използването на изразите, получени по-горе за S и V. Въпреки това, няма да е възможно да ги използваме веднага, тъй като не знаем апотема и височина на правилна шестоъгълна пирамида. Нека ги изчислим.

Апотемата h_b може да се определи, като се вземе предвид правоъгълен триъгълник, построен върху страни b, a/2 и h_{b. Тук b е дължината на страничния ръб. Използвайки условието на задачата, получаваме:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 см.}

Височината h на пирамидата може да се определи по абсолютно същия начин като апотема, но сега трябва да разгледаме триъгълник със страни h, b и a, разположен вътре в пирамидата. Височината ще бъде:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 см.}

Може да се види, че изчислената стойност на височината е по-малка от тази за апотема, което е вярно за всяка пирамида.

Сега можете да използвате изрази за обем и площ:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 см^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 см^3.

По този начин, за да определите недвусмислено всяка характеристика на правилна шестоъгълна пирамида, трябва да знаете всеки два от нейните линейни параметъра.