Апотема на пирамидата. Формули за апотема на правилна триъгълна пирамида

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Пирамидата е пространствен полиедър или полиедър, който се среща в геометрични задачи. Основните свойства на тази фигура са нейният обем и повърхност, които се изчисляват от познаването на кои да е две от нейните линейни характеристики. Една от тези характеристики е апотемът на пирамидата. Ще бъде обсъдено в статията.

Форма на пирамида

Преди да дадем определението за апотема на пирамидата, нека се запознаем със самата фигура. Пирамидата е полиедър, който се образува от една n-ъгълна основа и n триъгълника, които съставляват страничната повърхност на фигурата.

Всяка пирамида има връх - точката на свързване на всички триъгълници. Перпендикулярът, изтеглен от този връх към основата, се нарича височина. Ако височината пресича основата в геометричния център, тогава фигурата се нарича права линия. Права пирамида с равностранна основа се нарича правилна пирамида. Фигурата показва пирамида с шестоъгълна основа, която се гледа от страната на лицето и ръба.

Апотема на дясната пирамида

Тя се нарича още апотема. Тя се разбира като перпендикуляр, изтеглен от върха на пирамидата към страната на основата на фигурата. По дефиниция този перпендикуляр съответства на височината на триъгълника, който образува страничната повърхност на пирамидата.

Тъй като разглеждаме правилна пирамида с n-ъгълна основа, тогава всички n апотеми за нея ще бъдат еднакви, тъй като такива са равнобедрените триъгълници на страничната повърхност на фигурата. Имайте предвид, че еднакви апотеми са свойство на правилна пирамида. За фигура от общ тип (наклонена с неправилен n-ъгълник), всички n апотеми ще бъдат различни.

Друго свойство на правилната пирамидална апотема е, че тя е едновременно височина, медиана и ъглополовяща на съответния триъгълник. Това означава, че тя го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника.

Триъгълна пирамида и формули за определяне на нейния апотем

Във всяка правилна пирамида важните линейни характеристики са дължината на страната на основата й, страничния ръб b, височината h и апотемата h_{b. Тези количества са свързани помежду си чрез съответните формули, които могат да бъдат получени чрез начертаване на пирамида и отчитане на необходимите правоъгълни триъгълници.}

Правна триъгълна пирамида се състои от 4 триъгълни лица, като едната от тях (основата) трябва да е равностранна. Останалите са равнобедрени в общия случай. апотематриъгълната пирамида може да се определи по отношение на други количества, като се използват следните формули:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Първият от тези изрази е валиден за пирамида с всяка правилна основа. Вторият израз е характерен само за триъгълна пирамида. Показва, че апотемът винаги е по-голям от височината на фигурата.

Не бъркайте апотема на пирамида с този на полиедър. В последния случай апотемът е перпендикулярен сегмент, изтеглен към страната на полиедъра от центъра му. Например, апотемът на равностранен триъгълник е √3/6a.

Apothem task

Нека бъде дадена правилна пирамида с триъгълник в основата. Необходимо е да се изчисли нейният апотем, ако е известно, че площта на този триъгълник е 34 cm2, а самата пирамида се състои от 4 еднакви лица.

В съответствие с условието на задачата имаме работа с тетраедър, състоящ се от равностранни триъгълници. Формулата за площта на едно лице е:

S=√3/4a2

Където получаваме дължината на страната a:

a=2√(S/√3)

За да определим апотема h_{bизползваме формулата, съдържаща страничния ръб b. В разглеждания случай дължината му е равна на дължината на основата, имаме:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Заместване на стойността от a до S,получаваме окончателната формула:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Получихме проста формула, в която апотемът на пирамида зависи само от площта на нейната основа. Ако заместим стойността S от условието на задачата, получаваме отговора: h_{b≈ 7, 674 cm.}