Възможността за изчисляване на обема на пространствените фигури е важна при решаването на редица практически задачи в геометрията. Една от най-често срещаните форми е пирамидата. В тази статия ще разгледаме формулите за обема на пирамидата, както пълни, така и съкратени.
Пирамида като триизмерна фигура
Всички знаят за египетските пирамиди, така че имат добра представа за каква фигура ще се говори. Въпреки това, египетските каменни конструкции са само частен случай на огромен клас пирамиди.
Разглежданият геометричен обект в общия случай е многоъгълна основа, всеки връх на която е свързан с някаква точка от пространството, която не принадлежи на базовата равнина. Това определение води до фигура, състояща се от един n-ъгълник и n триъгълника.
Всяка пирамида се състои от n+1 лица, 2n ръба и n+1 върха. Тъй като разглежданата фигура е перфектен полиедър, броят на маркираните елементи се подчинява на равенството на Ойлер:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Многоъгълникът в основата дава името на пирамидата,например триъгълна, петоъгълна и т.н. На снимката по-долу е показан набор от пирамиди с различни основи.
Точката, в която са свързани n триъгълника на фигурата, се нарича връх на пирамидата. Ако от него се спусне перпендикуляр към основата и го пресича в геометричния център, тогава такава фигура ще се нарече права линия. Ако това условие не е изпълнено, тогава има наклонена пирамида.
Права фигура, чиято основа е образувана от равностранен (равноъгълен) n-ъгъл, се нарича правилна.
Формула за обем на пирамидата
За да изчислим обема на пирамидата, използваме интегралното смятане. За да направите това, ние разделяме фигурата на секущи равнини, успоредни на основата, на безкраен брой тънки слоеве. Фигурата по-долу показва четириъгълна пирамида с височина h и дължина на страната L, в която тънък слой сечение е маркиран с четириъгълник.
Площта на всеки такъв слой може да се изчисли по формулата:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Тук A0 е площта на основата, z е стойността на вертикалната координата. Може да се види, че ако z=0, тогава формулата дава стойността A0.
За да получите формулата за обема на пирамида, трябва да изчислите интеграла по цялата височина на фигурата, тоест:
V=∫h0(A(z)dz).
Замествайки зависимостта A(z) и изчислявайки анти-производната, стигаме до израза:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Получихме формулата за обема на пирамидата. За да намерите стойността на V, достатъчно е да умножите височината на фигурата по площта на основата и след това да разделите резултата на три.
Забележете, че полученият израз е валиден за изчисляване на обема на пирамида от произволен тип. Тоест, той може да бъде наклонен и основата му може да бъде произволен n-ъгълник.
Правилната пирамида и нейният обем
Общата формула за обем, получена в параграфа по-горе, може да бъде прецизирана в случай на пирамида с правилната основа. Площта на такава основа се изчислява по следната формула:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Тук L е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха. Символът pi е числото pi.
Замествайки израза за A0 в общата формула, получаваме обема на обикновена пирамида:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Например, за триъгълна пирамида, тази формула води до следния израз:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
За обикновена четириъгълна пирамида формулата за обем става:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Определянето на обема на правилните пирамиди изисква познаване на страната на основата им и височината на фигурата.
Осечена пирамида
Да предположим, че взехмепроизволна пирамида и отрязва част от страничната й повърхност, съдържаща върха. Останалата фигура се нарича пресечена пирамида. Той вече се състои от две n-ъгълни бази и n трапеци, които ги свързват. Ако режещата равнина е била успоредна на основата на фигурата, тогава се образува пресечена пирамида с успоредни подобни основи. Тоест дължините на страните на едната от тях могат да се получат чрез умножаване на дължините на другата по някакъв коефициент k.
Картината по-горе показва пресечена правилна шестоъгълна пирамида. Вижда се, че горната му основа, както и долната, е образувана от правилен шестоъгълник.
Формулата за обема на пресечена пирамида, която може да бъде извлечена с помощта на интегрално изчисление, подобно на даденото, е:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Където A0 и A1 са съответно областите на долната (голяма) и горната (малка). Променливата h е височината на пресечена пирамида.
Обемът на пирамидата на Хеопс
Интересно е да се реши задачата за определяне на обема, който най-голямата египетска пирамида съдържа вътре.
През 1984 г. британските египтолози Марк Ленър и Джон Гудман установяват точните размери на Хеопсовата пирамида. Първоначалната му височина е 146,50 метра (в момента около 137 метра). Средната дължина на всяка от четирите страни на конструкцията е 230,363 метра. Основата на пирамидата е квадратна с висока точност.
Нека използваме дадените цифри, за да определим обема на този каменен гигант. Тъй като пирамидата е правилна четириъгълна, тогава формулата е валидна за нея:
V4=1/3L2h.
Заместете числата, получаваме:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Обемът на пирамидата на Хеопс е почти 2,6 милиона m3. За сравнение отбелязваме, че олимпийският басейн има обем от 2,5 хиляди m3. Тоест, за да се запълни цялата пирамида на Хеопс, ще са необходими повече от 1000 от тези басейни!
