Училищният курс по геометрия е разделен на две големи секции: планиметрия и твърда геометрия. Стереометрията изучава пространствените фигури и техните характеристики. В тази статия ще разгледаме какво представлява правата призма и ще дадем формули, които описват нейните свойства като диагонални дължини, обем и повърхност.
Какво е призма?
Когато учениците бъдат помолени да назоват определението за призма, те отговарят, че тази фигура е два еднакви успоредни многоъгълника, чиито страни са свързани с успоредник. Това определение е възможно най-общо, тъй като не налага условия за формата на многоъгълниците, за тяхното взаимно подреждане в успоредни равнини. В допълнение, това предполага наличието на свързващи паралелограми, чийто клас включва също квадрат, ромб и правоъгълник. По-долу можете да видите какво е четириъгълна призма.
Виждаме, че призмата е полиедър (многоедър), състоящ се от n + 2страни, 2 × n върхове и 3 × n ръбове, където n е броят на страните (върховете) на един от многоъгълниците.
И двата многоъгълника обикновено се наричат основи на фигурата, другите лица са страните на призмата.
Концепцията за права призма
Има различни видове призми. И така, те говорят за правилни и неправилни фигури, за триъгълни, петоъгълни и други призми, има изпъкнали и вдлъбнати фигури и накрая, те са наклонени и прави. Нека поговорим за последното по-подробно.
Дясната призма е такава фигура от изследвания клас полиедри, всички странични четириъгълници на които имат прави ъгли. Има само два вида такива четириъгълници - правоъгълник и квадрат.
Разглежданата форма на фигурата има важно свойство: височината на права призма е равна на дължината на нейния страничен ръб. Имайте предвид, че всички странични ръбове на фигурата са равни един на друг. Що се отнася до страничните лица, в общия случай те не са равни една на друга. Тяхното равенство е възможно, ако освен факта, че призмата е права, то ще бъде и правилно.
Фигурата по-долу показва права фигура с петоъгълна основа. Вижда се, че всичките му странични лица са правоъгълници.
Диагонали на призмата и нейните линейни параметри
Основните линейни характеристики на всяка призма са нейната височина h и дължините на страните на нейната основа ai, където i=1, …, n. Ако основата е правилен многоъгълник, тогава е достатъчно да се знае дължината a на едната страна, за да се опише неговите свойства. Познаването на отбелязаните линейни параметри ни позволява недвусмисленодефинирайте такива свойства на фигура като нейния обем или повърхност.
Диагоналите на права призма са сегменти, които свързват всеки два несъседни върха. Такива диагонали могат да бъдат три вида:
- лежащи в базовите равнини;
- разположен в равнините на страничните правоъгълници;
- фигури, принадлежащи към тома.
Дължините на тези диагонали, свързани с основата, трябва да се определят в зависимост от типа n-ъгъл.
Диагоналите на страничните правоъгълници се изчисляват по следната формула:
d1i=√(ai2+ h2).
За да определите диагоналите на обема, трябва да знаете стойността на дължината на съответния основен диагонал и височина. Ако някакъв диагонал на основата е обозначен с буквата d0i, тогава диагоналът на обема d2i се изчислява по следния начин:
d2i=√(d0i2+ h2).
Например, в случай на обикновена четириъгълна призма, дължината на диагонала на обема ще бъде:
d2=√(2 × a2+ h2).
Забележете, че правата триъгълна призма има само един от трите названи типа диагонали: страничния диагонал.
Повърхност на изследвания клас форми
Площта на повърхността е сумата от площите на всички лица на фигура. За да визуализирате всички лица, трябва да направите сканиране на призмата. Като пример, такова движение за петоъгълна фигура е показано по-долу.
Виждаме, че броят на равнините фигури е n + 2, а n са правоъгълници. За да изчислите площта на целия размах, добавете площите на две еднакви основи и площите на всички правоъгълници. Тогава съответната формула ще изглежда така:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Това равенство показва, че страничната повърхност за изследвания тип призми е равна на произведението на височината на фигурата и периметъра на нейната основа.
Основната площ на So може да се изчисли чрез прилагане на подходящата геометрична формула. Например, ако основата на дясна призма е правоъгълен триъгълник, тогава получаваме:
So=a1 × a2 / 2.
Където a1 и a2 са краката на триъгълника.
Ако основата е n-ъгълник с равни ъгли и страни, тогава следната формула ще бъде справедлива:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Формула за обем
Определянето на обема на призма от всякакъв вид не е трудна задача, ако са известни нейната основна площ So и височина h. Умножавайки тези стойности заедно, получаваме обема V на фигурата, тоест:
V=So × h.
Тъй като параметърът h на права призма е равен на дължината на страничния ръб, целият проблем за изчисляване на обема се свежда до изчисляване на площта So. Над насвече казаха няколко думи и дадох няколко формули за определяне на So. Тук само отбелязваме, че в случай на основа с произволна форма, трябва да я разбиете на прости сегменти (триъгълници, правоъгълници), да изчислите площта на всеки и след това да добавите всички области, за да получите S o.
