Площ на повърхността на права призма: формули и пример за проблем

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Обемът и повърхността са две важни характеристики на всяко тяло, което има крайни измерения в триизмерно пространство. В тази статия разглеждаме добре познат клас полиедри - призми. По-специално ще бъде разкрит въпросът как да се намери повърхността на права призма.

Какво е призма?

Призмата е всеки полиедър, който е ограничен от няколко паралелограма и два еднакви многоъгълника, разположени в успоредни равнини. Тези многоъгълници се считат за основи на фигурата, а нейните паралелограми са страни. Броят на страните (ъглите) на основата определя името на фигурата. Например, фигурата по-долу показва петоъгълна призма.

Разстоянието между основите се нарича височина на фигурата. Ако височината е равна на дължината на който и да е страничен ръб, тогава такава призма ще бъде права. Втората достатъчна характеристика за права призма е, че всичките й страни са правоъгълници или квадрати. Ако обачеАко едната страна е общ паралелограм, тогава фигурата ще бъде наклонена. По-долу можете да видите как правите и косите призми визуално се различават на примера на четириъгълни фигури.

Площ на повърхността на права призма

Ако геометрична фигура има n-ъгълна основа, тогава тя се състои от n+2 лица, n от които са правоъгълници. Нека да означим дължините на страните на основата като a_i, където i=1, 2, …, n, и да означим височината на фигурата, която е равна на дължината на страничен ръб, като h. За да определите площта (S) на повърхността на всички лица, добавете площта S_{o на всяка от основите и всички площи на страните (правоъгълници). По този начин, формулата за S в общ вид може да бъде написана, както следва:}

S=2S_o+ S_b

Където S_{b е страничната повърхност.}

Тъй като основата на права призма може да бъде абсолютно всеки плосък многоъгълник, тогава една формула за изчисляване на S_{oне може да бъде дадена и за да се определи тази стойност, в общия случай В случая трябва да се извърши геометричен анализ. Например, ако основата е правилен n-ъгълник със страна a, тогава неговата площ се изчислява по формулата:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Що се отнася до стойността на S_{b, може да се даде изразът за нейното изчисление. Площта на страничната повърхност на права призма е:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Тоест стойносттаS_{b се изчислява като произведение на височината на фигурата и периметъра на нейната основа.}

Пример за решаване на проблеми

Нека приложим придобитите знания за решаване на следната геометрична задача. Дадена е призма, чиято основа е правоъгълен триъгълник със страни под прав ъгъл от 5 см и 7 см. Височината на фигурата е 10 см. Необходимо е да се намери повърхността на права триъгълна призма.

Първо, нека изчислим хипотенузата на триъгълника. Ще бъде равно на:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Сега нека направим още една подготвителна математическа операция - да изчислим периметъра на основата. Ще бъде:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 см

Площта на страничната повърхност на фигурата се изчислява като произведение на стойността P и височината h=10 cm, тоест S_b=206 cm ^2.

За да се намери площта на цялата повърхност, към намерената стойност трябва да се добавят две основни области. Тъй като площта на правоъгълния триъгълник се определя от половината от произведението на краката, получаваме: