Стереометрията е изследване на характеристиките на триизмерните геометрични форми. Една от добре познатите обемни фигури, която се появява в задачите на геометрията, е права призма. Нека разгледаме в тази статия какво представлява и също така да опишем подробно призма с триъгълна основа.
Призма и нейните видове
Призмата е фигура, която се образува в резултат на паралелно преместване на многоъгълник в пространството. В резултат на тази геометрична операция се образува фигура, състояща се от няколко паралелограма и два еднакви многоъгълника, успоредни един на друг. Паралелограмите са страните на призмата, а многоъгълниците са нейните основи.
Всяка призма има n+2 страни, 3n ръбове и 2n върха, където n е броят на ъглите или страните на многоъгълната основа. Изображението показва петоъгълна призма, която има 7 страни, 10 върха и 15 ръба.
Разглежданият клас фигури е представен от няколко вида призми. Изброяваме ги накратко:
- вдлъбната и изпъкнала;
- наклонена и права;
- грешно и правилно.
Всяка фигура принадлежи към един от изброените три вида класификация. При решаване на геометрични задачи е най-лесно да се правят изчисления за правилни и прави призми. Последното ще бъде разгледано по-подробно в следващите параграфи на статията.
Какво е права призма?
Права призма е вдлъбната или изпъкнала, правилна или неправилна призма, в която всички страни са представени от четириъгълници с ъгли от 90°. Ако поне един от четириъгълниците на страните не е правоъгълник или квадрат, тогава призмата се нарича наклонена. Може да се даде и друго определение: права призма е такава фигура от даден клас, в която всеки страничен ръб е равен на височината. Под височината h на призмата се приема разстоянието между нейните основи.
И двете определения, че това е директна призма, са равни и самодостатъчни. От тях следва, че всички двустранни ъгли между която и да е от основите и всяка страна са 90°.
По-горе беше казано, че е удобно да се работи с прави фигури при решаване на задачи. Това се дължи на факта, че височината съвпада с дължината на страничното ребро. Последният факт улеснява процеса на изчисляване на обема на фигура и площта на нейната странична повърхност.
Обем на директна призма
Обем - стойност, присъща на всяка пространствена фигура, която цифрово отразява частта от пространството, затворено между повърхностите на разглежданитеобект. Обемът на призмата може да се изчисли по следната обща формула:
V=Soh.
Тоест, произведението на височината и площта на основата ще даде желаната стойност V. Тъй като основите на права призма са равни, тогава за да се определи площта So можете да вземете всеки от тях.
Предимството на използването на горната формула специално за права призма в сравнение с другите й типове е, че е много лесно да се намери височината на фигурата, тъй като тя съвпада с дължината на страничния ръб.
Странична зона
Удобно е да се изчисли не само обема за права фигура от разглеждания клас, но и нейната странична повърхност. Всъщност всяка страна от него е или правоъгълник, или квадрат. Всеки ученик знае как да изчисли площта на тези плоски фигури, за това е необходимо съседните страни да се умножат една по друга.
Да приемем, че основата на призмата е произволен n-ъгълник, чиито страни са равни на ai. Индексът i е от 1 до n. Площта на един правоъгълник се изчислява по следния начин:
Si=aih.
Площта на страничната повърхност Sb е лесно да се изчисли, ако съберете всички площи Si правоъгълници. В този случай получаваме окончателната формула за Sbправа призма:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
По този начин, за да определите страничната повърхност на права призма, трябва да умножите нейната височина по периметъра на една основа.
Проблем с триъгълна призма
Да приемем, че е дадена права призма. Основата е правоъгълен триъгълник. Катетата на този триъгълник са 12 см и 8 см. Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата и нейната обща площ, ако височината на призмата е 15 см.
Първо, нека изчислим обема на права призма. Триъгълникът (правоъгълник), разположен в основите му, има площ:
So=a1a2/2=128/2=48 см2.
Както може да се досетите, a1 и a2 са крака в това уравнение. Познавайки основната площ и височината (вижте условието на задачата), можете да използвате формулата за V:
V=Soh=4815=720 см3.
Общата площ на фигурата се формира от две части: областите на основите и страничната повърхност. Площите на двете бази са:
S2o=2So=482=96см2.
За да изчислите площта на страничната повърхност, трябва да знаете периметъра на правоъгълен триъгълник. Изчислете по теоремата на Питагор нейната хипотенуза a3, имаме:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 см.
Тогава периметърът на триъгълника на основата на дясната призма ще бъде:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 см.
Прилагане на формулата за Sb, която беше написана в предишния параграф,вземете:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
Добавяйки областите на S2o и Sb, получаваме общата повърхност на изследваната геометрична фигура:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3 см2.
Триъгълна призма, която е направена от специални видове стъкло, се използва в оптиката за изследване на спектрите на обекти, излъчващи светлина. Такива призми са в състояние да разлагат светлината на компонентни честоти поради феномена на дисперсия.
