Какво е права призма? Свойства и формули. Пример за задача

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Стереометрията е изследване на характеристиките на триизмерните геометрични форми. Една от добре познатите обемни фигури, която се появява в задачите на геометрията, е права призма. Нека разгледаме в тази статия какво представлява и също така да опишем подробно призма с триъгълна основа.

Призма и нейните видове

Призмата е фигура, която се образува в резултат на паралелно преместване на многоъгълник в пространството. В резултат на тази геометрична операция се образува фигура, състояща се от няколко паралелограма и два еднакви многоъгълника, успоредни един на друг. Паралелограмите са страните на призмата, а многоъгълниците са нейните основи.

Всяка призма има n+2 страни, 3n ръбове и 2n върха, където n е броят на ъглите или страните на многоъгълната основа. Изображението показва петоъгълна призма, която има 7 страни, 10 върха и 15 ръба.

Разглежданият клас фигури е представен от няколко вида призми. Изброяваме ги накратко:

• вдлъбната и изпъкнала;
• наклонена и права;
• грешно и правилно.

Всяка фигура принадлежи към един от изброените три вида класификация. При решаване на геометрични задачи е най-лесно да се правят изчисления за правилни и прави призми. Последното ще бъде разгледано по-подробно в следващите параграфи на статията.

Какво е права призма?

Права призма е вдлъбната или изпъкнала, правилна или неправилна призма, в която всички страни са представени от четириъгълници с ъгли от 90°. Ако поне един от четириъгълниците на страните не е правоъгълник или квадрат, тогава призмата се нарича наклонена. Може да се даде и друго определение: права призма е такава фигура от даден клас, в която всеки страничен ръб е равен на височината. Под височината h на призмата се приема разстоянието между нейните основи.

И двете определения, че това е директна призма, са равни и самодостатъчни. От тях следва, че всички двустранни ъгли между която и да е от основите и всяка страна са 90°.

По-горе беше казано, че е удобно да се работи с прави фигури при решаване на задачи. Това се дължи на факта, че височината съвпада с дължината на страничното ребро. Последният факт улеснява процеса на изчисляване на обема на фигура и площта на нейната странична повърхност.

Обем на директна призма

Обем - стойност, присъща на всяка пространствена фигура, която цифрово отразява частта от пространството, затворено между повърхностите на разглежданитеобект. Обемът на призмата може да се изчисли по следната обща формула:

V=S_oh.

Тоест, произведението на височината и площта на основата ще даде желаната стойност V. Тъй като основите на права призма са равни, тогава за да се определи площта S_o можете да вземете всеки от тях.

Предимството на използването на горната формула специално за права призма в сравнение с другите й типове е, че е много лесно да се намери височината на фигурата, тъй като тя съвпада с дължината на страничния ръб.

Странична зона

Удобно е да се изчисли не само обема за права фигура от разглеждания клас, но и нейната странична повърхност. Всъщност всяка страна от него е или правоъгълник, или квадрат. Всеки ученик знае как да изчисли площта на тези плоски фигури, за това е необходимо съседните страни да се умножат една по друга.

Да приемем, че основата на призмата е произволен n-ъгълник, чиито страни са равни на a_i. Индексът i е от 1 до n. Площта на един правоъгълник се изчислява по следния начин:

S_i=a_ih.

Площта на страничната повърхност S_b е лесно да се изчисли, ако съберете всички площи S_i правоъгълници. В този случай получаваме окончателната формула за S_bправа призма:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

По този начин, за да определите страничната повърхност на права призма, трябва да умножите нейната височина по периметъра на една основа.

Проблем с триъгълна призма

Да приемем, че е дадена права призма. Основата е правоъгълен триъгълник. Катетата на този триъгълник са 12 см и 8 см. Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата и нейната обща площ, ако височината на призмата е 15 см.

Първо, нека изчислим обема на права призма. Триъгълникът (правоъгълник), разположен в основите му, има площ:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 см².

Както може да се досетите, a₁ и a₂ са крака в това уравнение. Познавайки основната площ и височината (вижте условието на задачата), можете да използвате формулата за V:

V=S_oh=4815=720 см³.

Общата площ на фигурата се формира от две части: областите на основите и страничната повърхност. Площите на двете бази са:

S_2o=2S_o=482=96см².

За да изчислите площта на страничната повърхност, трябва да знаете периметъра на правоъгълен триъгълник. Изчислете по теоремата на Питагор нейната хипотенуза a₃, имаме:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 см.}

Тогава периметърът на триъгълника на основата на дясната призма ще бъде:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 см.

Прилагане на формулата за S_b, която беше написана в предишния параграф,вземете:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Добавяйки областите на S_2o и S_b, получаваме общата повърхност на изследваната геометрична фигура:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3 см^2.

Триъгълна призма, която е направена от специални видове стъкло, се използва в оптиката за изследване на спектрите на обекти, излъчващи светлина. Такива призми са в състояние да разлагат светлината на компонентни честоти поради феномена на дисперсия.