Пряма триъгълна призма. Формули за обем и повърхност. Решение на геометрична задача

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

В гимназията, след като изучават свойствата на фигурите в равнината, те преминават към разглеждането на пространствени геометрични обекти като призми, сфери, пирамиди, цилиндри и конуси. В тази статия ще дадем най-пълното описание на права триъгълна призма.

Какво е триъгълна призма?

Нека започнем статията с дефиницията на фигурата, която ще бъде обсъдена по-нататък. Призмата от гледна точка на геометрията е фигура в пространството, образувана от два еднакви n-ъгъла, разположени в успоредни равнини, същите ъгли на които са свързани с прави сегменти. Тези сегменти се наричат странични ребра. Заедно със страните на основата те образуват странична повърхност, която обикновено се представя от успоредник.

Два n-ъгъла са основите на фигурата. Ако страничните ръбове са перпендикулярни на тях, тогава те говорят за права призма. Съответно, ако броят на страните n на многоъгълника в основите е три, тогава такава фигура се нарича триъгълна призма.

Триъгълната права призма е показана по-горе на фигурата. Тази фигура също се нарича правилна, тъй като нейните основи са равностранни триъгълници. Дължината на страничния ръб на фигурата, обозначена с буквата h на фигурата, се нарича нейната височина.

Фигурата показва, че призма с триъгълна основа е образувана от пет лица, две от които са равностранни триъгълници, а три са еднакви правоъгълници. В допълнение към лицата, призмата има шест върха в основите и девет ръба. Броят на разглежданите елементи са свързани помежду си чрез теоремата на Ойлер:

брой ръбове=брой върхове + брой страни - 2.

Площ на дясна триъгълна призма

Разбрахме по-горе, че въпросната фигура е образувана от пет лица от два вида (два триъгълника, три правоъгълника). Всички тези лица образуват цялата повърхност на призмата. Общата им площ е площта на фигурата. По-долу е разгъната триъгълна призма, която може да се получи, като първо се отрежат две основи от фигурата и след това се изрязва по единия ръб и се разгъва страничната повърхност.

Нека дадем формули за определяне на повърхността на това размахване. Нека започнем с основите на права триъгълна призма. Тъй като представляват триъгълници, площта S_{3 на всеки от тях може да се намери, както следва:}

S₃=1/2ah_a.

Тук a е страната на триъгълника, h_{a е височината, спусната от върха на триъгълника до тази страна.}

Ако триъгълникът е равностранен (правилен), тогава формулата за S_{3 зависи само от един параметър a. Изглежда така:}

S₃=√3/4a^2.

Този израз може да бъде получен чрез разглеждане на правоъгълен триъгълник, образуван от сегменти a, a/2, h_a.

Площта на основите S_o за обикновена фигура е два пъти по-голяма от стойността на S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Що се отнася до страничната повърхност S_{b, не е трудно да се изчисли. За да направите това, достатъчно е да умножите по три площта на един правоъгълник, образуван от страните a и h. Съответната формула е:}

S_b=3ah.

По този начин площта на обикновена призма с триъгълна основа се намира по следната формула:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Ако призмата е права, но неправилна, тогава, за да изчислите нейната площ, трябва отделно да добавите площите на правоъгълниците, които не са равни една на друга.

Определяне на обема на фигура

Обемът на призмата се разбира като пространство, ограничено от нейните страни (лица). Изчисляването на обема на права триъгълна призма е много по-лесно, отколкото изчисляването на нейната повърхност. За да направите това, достатъчно е да знаете площта на основата и височината на фигурата. Тъй като височината h на права фигура е дължината на нейния страничен ръб и как да се изчисли основната площ, ние дадохме в предишнататочка, тогава остава да умножите тези две стойности една спрямо друга, за да получите желания обем. Формулата за него става:

V=S_3h.

Забележете, че произведението от площта на една основа и височината ще даде обема не само на права призма, но и на наклонена фигура и дори на цилиндър.

Решаване на проблеми

Стъклените триъгълни призми се използват в оптиката за изследване на спектъра на електромагнитното излъчване поради феномена на дисперсия. Известно е, че обикновената стъклена призма има дължина на основата 10 см и дължина на ръба 15 см. Каква е площта на стъклените й лица и какъв обем съдържа?

За да определим площта, ще използваме формулата, написана в статията. Имаме:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 см^2.

За да определим обема V, ние също използваме горната формула:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 см}3^.

Въпреки факта, че ръбовете на призмата са дълги 10 см и 15 см, обемът на фигурата е само 0,65 литра (куб със страна 10 см има обем от 1 литър).