Вероятно концепцията за производна е позната на всеки от нас още от училище. Обикновено учениците изпитват трудности да разберат това, без съмнение, много важно нещо. Той се използва активно в различни области от живота на хората и много инженерни разработки се основават именно на математически изчисления, получени с помощта на производната. Но преди да пристъпим към анализа на това какви са производните на числата, как да ги изчислим и къде са полезни за нас, нека се потопим в историята.
История
Концепцията за производната, която е в основата на математическия анализ, е открита (по-добре би било да се каже "изобретена", защото не е съществувала в природата като такава) от Исак Нютон, когото всички познаваме от откриването на закона за всемирното притегляне. Именно той за първи път прилага тази концепция във физиката, за да свърже естеството на скоростта и ускорението на телата. И много учени все още хвалят Нютон за това великолепно изобретение, защото всъщност той е изобретил основата на диференциалното и интегралното смятане, всъщност основата на цяла област на математиката, наречена "изчисление". Ако по това време Нобеловата награда, Нютон щеше да я получи с голяма вероятност няколко пъти.
Не без други велики умове. Освен Нютонтакива изтъкнати математически гении като Леонхард Ойлер, Луи Лагранж и Готфрид Лайбниц са работили върху развитието на производната и интеграла. Благодарение на тях ние получихме теорията на диференциалното смятане във вида, в който съществува и до днес. Между другото, именно Лайбниц открива геометричното значение на производната, което се оказва нищо повече от тангенса на наклона на допирателната към графиката на функцията.
Какви са производните на числата? Нека повторим малко това, което преминахме в училище.
Какво е производно?
Тази концепция може да бъде дефинирана по няколко различни начина. Най-простото обяснение е, че производната е скоростта на промяна на функцията. Представете си графика на някаква функция y от x. Ако не е права, значи има някои криви в графиката, периоди на нарастване и намаляване. Ако вземем някакъв безкрайно малък интервал от тази графика, тя ще бъде отсечка по права линия. И така, съотношението на размера на този безкрайно малък сегмент по координатата y към размера по координатата x ще бъде производна на тази функция в дадена точка. Ако разгледаме функцията като цяло, а не в конкретна точка, тогава ще получим производна функция, тоест определена зависимост на y от x.
Освен това, освен физическото значение на производната като скорост на промяна на функция, има и геометричен смисъл. Сега ще говорим за него.
Геометричен смисъл
Самите производни на числа представляват определено число, което без правилно разбиране не носиняма смисъл. Оказва се, че производната показва не само скоростта на нарастване или намаляване на функцията, но и тангенса на наклона на допирателната към графиката на функцията в дадена точка. Не е много ясно определение. Нека го анализираме по-подробно. Да кажем, че имаме графика на функция (за интерес, нека вземем крива). Той има безкраен брой точки, но има области, в които само една точка има максимум или минимум. През всяка такава точка е възможно да се начертае права, която би била перпендикулярна на графиката на функцията в тази точка. Такава права ще се нарича допирателна. Да кажем, че сме го прекарали до пресечната точка с оста OX. Така ъгълът, получен между допирателната и оста OX, ще бъде определен от производната. По-точно тангенсът на този ъгъл ще бъде равен на него.
Нека поговорим малко за специални случаи и да анализираме производните на числата.
Специални случаи
Както вече казахме, производните на числата са стойностите на производната в определена точка. Например, нека вземем функцията y=x2. Производната x е число, а в общия случай функция, равна на 2x. Ако трябва да изчислим производната, да речем, в точката x0=1, тогава получаваме y'(1)=21=2. Всичко е много просто. Интересен случай е производната на комплексно число. Няма да навлизаме в подробно обяснение какво е комплексно число. Нека просто кажем, че това е число, което съдържа така наречената въображаема единица - число, чийто квадрат е -1. Изчисляването на такава производна е възможно само ако има следнотоусловия:
1) Трябва да има частични производни от първи ред на реалните и въображаемите части по отношение на Y и X.
2) Условията на Коши-Риман, свързани с равенството на частните производни, описани в първия параграф, са изпълнени.
Друг интересен случай, макар и не толкова сложен като предишния, е производната на отрицателно число. Всъщност всяко отрицателно число може да бъде представено като положително число, умножено по -1. Е, производната на константата и функцията е равна на константата, умножена по производната на функцията.
Ще бъде интересно да научим за ролята на производната в ежедневието и това е, което ще обсъдим сега.
Заявление
Вероятно всеки от нас поне веднъж в живота си се хваща да мисли, че математиката едва ли ще му бъде полезна. И такова сложно нещо като производно вероятно изобщо няма приложение. Всъщност математиката е фундаментална наука и всички нейни плодове се развиват основно от физиката, химията, астрономията и дори икономиката. Производната беше началото на математическия анализ, който ни даде способността да правим изводи от графиките на функциите и се научихме да тълкуваме законите на природата и да ги обръщаме в своя полза благодарение на него..
Заключение
Разбира се, не всеки може да се нуждае от производна в реалния живот. Но математиката развива логиката, която със сигурност ще е необходима. Неслучайно математиката се нарича кралицата на науките: тя формира основата за разбиране на други области на знанието.
