Функции за диференциално изчисление на една и няколко променливи

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Изчислението е клон на смятането, който изучава производната, диференциалите и тяхното използване при изучаването на функция.

История на външния вид

Диференциалното смятане се появява като самостоятелна дисциплина през втората половина на 17-ти век, благодарение на работата на Нютон и Лайбниц, които формулират основните положения в смятането на диференциали и забелязват връзката между интеграцията и диференциацията. От този момент дисциплината се развива заедно с смятането на интеграли, като по този начин формира основата на математическия анализ. Появата на тези изчисления отвори нов модерен период в света на математиката и предизвика появата на нови дисциплини в науката. Той също така разшири възможността за прилагане на математическата наука в естествените науки и технологиите.

Основни понятия

Диференциалното смятане се основава на основните понятия на математиката. Те са: реално число, непрекъснатост, функция и граница. С течение на времето те придобиха модерен вид, благодарение на интегралното и диференциалното смятане.

Процес на създаване

Образуването на диференциално смятане под формата на приложен, а след това и научен метод се случи преди появата на философска теория, създадена от Николай Кузански. Неговите произведения се считат за еволюционно развитие от съжденията на древната наука. Въпреки факта, че самият философ не е бил математик, неговият принос за развитието на математическата наука е неоспорим. Кузански беше един от първите, които се отдалечиха от разглеждането на аритметиката като най-точната област на науката, поставяйки математиката от онова време под съмнение.

Древните математици са използвали единицата като универсален критерий, докато философът предлага безкрайността като нова мярка вместо точното число. В тази връзка представянето на прецизността в математическата наука е обърнато. Научното познание според него се разделя на рационално и интелектуално. Вторият е по-точен, според учения, тъй като първият дава само приблизителен резултат.

Идея

Основната идея и концепция в диференциалното смятане е свързана с функция в малки квартали на определени точки. За да направите това, е необходимо да се създаде математически апарат за изследване на функция, чието поведение в малка околност на установените точки е близко до поведението на полином или линейна функция. Това се основава на определението за производна и диференциал.

Появата на концепцията за производна е причинена от голям брой проблеми от природните науки и математиката,което доведе до намиране на стойности на граници от същия тип.

Един от основните проблеми, които са дадени като пример, започвайки от гимназията, е да се определи скоростта на точка, движеща се по права линия и да се построи допирателна линия към тази крива. Диференциалът е свързан с това, тъй като е възможно да се аппроксимира функцията в малка околност на разглежданата точка на линейната функция.

В сравнение с концепцията за производната на функция на реална променлива, дефиницията на диференциали просто преминава към функция от общ характер, по-специално, към изображението на едно евклидово пространство върху друго.

Производна

Нека точката се движи в посока на оста Oy, за времето, което вземаме x, което се брои от определено начало на момента. Такова движение може да се опише с функцията y=f(x), която се приписва на всеки момент от време x от координатата на преместената точка. В механиката тази функция се нарича закон за движение. Основната характеристика на движението, особено неравномерното, е моментната скорост. Когато точка се движи по оста Oy съгласно закона на механиката, тогава в произволен момент от време x, тя придобива координатата f (x). В момента на времето x + Δx, където Δx означава увеличение на времето, неговата координата ще бъде f(x + Δx). Така се образува формулата Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), която се нарича приращение на функцията. Той представлява пътя, изминат от точката във времето от x до x + Δx.

Поради появата на товаскорост във времето, се въвежда производната. В произволна функция производната във фиксирана точка се нарича граница (ако приемем, че съществува). Може да се обозначи с определени символи:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциране.

Диференциално изчисление на функция от няколко променливи

Този метод на изчисление се използва при изследване на функция с няколко променливи. При наличието на две променливи x и y, частичната производна по отношение на x в точка A се нарича производна на тази функция спрямо x с фиксирано y.

Може да бъде представено със следните знаци:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x, y)’/∂x.

Задължителни умения

Умения за интеграция и диференциация са необходими, за да се изучават успешно и да могат да се решават дифузни проблеми. За да улесните разбирането на диференциалните уравнения, трябва да имате добро разбиране на темата за производната и неопределения интеграл. Също така не пречи да се научите как да намирате производната на имплицитно дадена функция. Това се дължи на факта, че в процеса на изучаване на интеграли и диференциране често ще трябва да се използват.

Видове диференциални уравнения

В почти всички тестови документи, свързани с диференциални уравнения от първи ред, има 3 вида уравнения: хомогенни, с разделими променливи, линейно нехомогенни.

Съществуват и по-редки разновидности на уравнения: с общи диференциали, уравнения на Бернули и други.

Основи за вземане на решения

Първо, трябва да запомните алгебричните уравнения от училищния курс. Те съдържат променливи и числа. За да решите обикновено уравнение, трябва да намерите набор от числа, които отговарят на дадено условие. По правило такива уравнения имат един корен и за да се провери правилността, трябваше само да се замени тази стойност с неизвестното.

Диференциалното уравнение е подобно на това. Като цяло, такова уравнение от първи ред включва:

• Независима променлива.
• Производната на първата функция.
• А функция или зависима променлива.

В някои случаи една от неизвестните, x или y, може да липсва, но това не е толкова важно, тъй като наличието на първата производна, без производни от по-висок порядък, е необходимо за решението и диференциала изчислението е правилно.

Да се реши диференциално уравнение означава да се намери множеството от всички функции, съответстващи на дадения израз. Такъв набор от функции често се нарича общо решение на DE.

Интегрално изчисление

Интегралното смятане е един от разделите на математическия анализ, който изучава концепцията за интеграла, свойствата и методите за неговото изчисляване.

Често изчисляването на интеграла се случва при изчисляване на площта на криволинейна фигура. Тази област означава границата, към която площта на многоъгълник, вписан в дадена фигура, клони с постепенно увеличаване на неговата страна, докато тези страни могат да бъдат направени по-малки от всеки предварително зададен произволенмалка стойност.

Основната идея при изчисляване на площта на произволна геометрична фигура е да се изчисли площта на правоъгълник, тоест да се докаже, че неговата площ е равна на произведението на дължината и ширината. Що се отнася до геометрията, всички конструкции се правят с помощта на линийка и пергел и тогава съотношението дължина към ширина е рационална стойност. Когато изчислявате площта на правоъгълен триъгълник, можете да определите, че ако поставите същия триъгълник до него, тогава се образува правоъгълник. В паралелограма площта се изчислява по подобен, но малко по-сложен метод, чрез правоъгълник и триъгълник. В многоъгълниците площта се изчислява чрез триъгълниците, включени в нея.

При определяне на спестяването на произволна крива, този метод няма да работи. Ако го разбиете на единични квадратчета, тогава ще има незапълнени места. В този случай човек се опитва да използва две корици, с правоъгълници отгоре и отдолу, в резултат на което те включват графиката на функцията, но не. Методът за разделяне на тези правоъгълници остава важен тук. Освен това, ако вземем все по-малки дялове, тогава областта отгоре и отдолу трябва да се сближи при определена стойност.

Трябва да се върнем към метода на разделяне на правоъгълници. Има два популярни метода.

Риман формализира дефиницията на интеграла, създадена от Лайбниц и Нютон, като площ на подграф. В този случай бяха разгледани фигури, състоящи се от определен брой вертикални правоъгълници и получени чрез разделянесегмент. Когато с намаляването на разделянето има граница, до която намалява площта на подобна фигура, тази граница се нарича интеграл на Риман от функция на даден интервал.

Вторият метод е изграждането на интеграла на Лебег, който се състои във факта, че за мястото на разделяне на определената област на части от интегралната функция и след това компилиране на интегралната сума от стойностите, получени в тези части, неговият диапазон от стойности се разделя на интервали и след това се сумира със съответните мерки на прообразите на тези интеграли.

Модерни предимства

Едно от основните ръководства за изучаване на диференциално и интегрално смятане е написано от Фихтенголтс - "Курс по диференциално и интегрално смятане". Неговият учебник е основно ръководство за изучаване на математическия анализ, което е претърпяло много издания и преводи на други езици. Създаден за студенти и отдавна се използва в много образователни институции като едно от основните учебни помагала. Дава теоретични данни и практически умения. Публикувано за първи път през 1948 г.

Алгоритъм за изследване на функции

За да изследвате функция с помощта на методите на диференциалното смятане, трябва да следвате вече дадения алгоритъм:

1. Намерете обхвата на функция.
2. Намерете корените на даденото уравнение.
3. Изчислете крайностите. За да направите това, изчислете производната и точките, където тя е равна на нула.
4. Заместете получената стойност в уравнението.

Разновидности на диференциалните уравнения

контрол от първи ред (в противен случай диференциализчисление с една променлива) и техните типове:

• Разделяемо уравнение: f(y)dy=g(x)dx.
• Най-простите уравнения или диференциално изчисление на функция от една променлива, имаща формулата: y'=f(x).
• Линеен нехомогенен DE от първи ред: y'+P(x)y=Q(x).
• Диференциално уравнение на Бернули: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Уравнение с общи диференциали: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Диференциални уравнения от втори ред и техните типове:

• Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни стойности на коефициента: y +py'+qy=0 p, q принадлежи на R.
• Линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти: y +py'+qy=f(x).
• Линейно хомогенно диференциално уравнение: y +p(x)y'+q(x)y=0 и нехомогенно уравнение от втори ред: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Диференциални уравнения от по-висок порядък и техните типове:

• Диференциално уравнение, което може да се редуцира в ред: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Линейно хомогенно уравнение от по-висок порядък: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 и нехомогенно: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Стъпки при решаване на задача с диференциално уравнение

С помощта на дистанционното управление се решават не само математически или физически въпроси, но и различни проблеми отбиология, икономика, социология и др. Въпреки голямото разнообразие от теми, човек трябва да се придържа към една логическа последователност при решаването на такива задачи:

1. Компилация на дистанционно управление. Една от най-трудните стъпки, която изисква максимална прецизност, тъй като всяка грешка ще доведе до напълно грешни резултати. Трябва да се вземат предвид всички фактори, влияещи на процеса и да се определят първоначалните условия. Също така трябва да се основава на факти и логически заключения.
2. Решение на формулираното уравнение. Този процес е по-прост от първата стъпка, тъй като изисква само строги математически изчисления.
3. Анализ и оценка на резултатите. Полученото решение трябва да бъде оценено, за да се установи практическата и теоретичната стойност на резултата.

Пример за използване на диференциални уравнения в медицината

Използването на дистанционно управление в областта на медицината се случва при изграждането на епидемиологичен математически модел. В същото време не бива да забравяме, че тези уравнения се срещат и в биологията и химията, които са близки до медицината, тъй като изучаването на различни биологични популации и химични процеси в човешкото тяло играе важна роля в това.

В горния пример за епидемия можем да разгледаме разпространението на инфекция в изолирано общество. Жителите са разделени на три типа:

• Заразени, брой x(t), състоящи се от индивиди, носители на инфекцията, всеки от които е заразен (инкубационният период е кратък).
• Вторият тип включваподатливи индивиди y(t), способни да се заразят при контакт със заразени лица.
• Третият вид включва имунни индивиди z(t), които са имунизирани или са починали поради заболяване.

Броят на индивидите е постоянен, като не се вземат предвид ражданията, естествената смърт и миграцията. В основата ще има две хипотези.

Процентът на заболеваемост в определен момент от време е x(t)y(t) (въз основа на теорията, че броят на случаите е пропорционален на броя на пресичанията между болни и податливи представители, които в първия апроксимацията ще бъде пропорционална на x(t)y(t)), във връзка с това броят на случаите се увеличава и броят на податливите намалява със скорост, която се изчислява по формулата ax(t)y(t) (a > 0).

Броят на имунизираните индивиди, които са станали имунизирани или са починали, нараства със скорост, която е пропорционална на броя на случаите, bx(t) (b > 0).

В резултат на това можете да направите система от уравнения, като вземете предвид и трите индикатора и да направите заключения въз основа на нея.

Икономически пример

Диференциалното смятане често се използва в икономическия анализ. Основната задача в икономическия анализ е изследването на величини от икономиката, които се записват под формата на функция. Това се използва при решаване на проблеми като промени в доходите непосредствено след увеличение на данъците, въвеждане на мита, промени в приходите на компанията, когато се променят производствените разходи, в каква пропорция пенсионираните работници могат да бъдат заменени с ново оборудване. За разрешаване на такива проблеми е необходимоизградете функция за свързване от входните променливи, които след това се изучават с помощта на диференциалното смятане.

В икономическата сфера често е необходимо да се намерят най-оптималните показатели: максимална производителност на труда, най-висок доход, най-ниски разходи и т.н. Всеки такъв индикатор е функция на един или повече аргументи. Например, производството може да се разглежда като функция на вложените труд и капитал. В тази връзка намирането на подходяща стойност може да се сведе до намиране на максимума или минимума на функция от една или повече променливи.

Проблеми от този вид създават клас екстремни проблеми в икономическата област, чието решение изисква диференциално смятане. Когато икономически индикатор трябва да бъде минимизиран или максимизиран като функция на друг индикатор, тогава в точката на максимум съотношението на приращението на функцията към аргументите ще клони към нула, ако приращението на аргумента клони към нула. В противен случай, когато такова съотношение клони към някаква положителна или отрицателна стойност, посочената точка не е подходяща, тъй като чрез увеличаване или намаляване на аргумента можете да промените зависимата стойност в желаната посока. В терминологията на диференциалното смятане, това ще означава, че изискваното условие за максимума на функция е нулевата стойност на нейната производна.

В икономиката често има проблеми с намирането на екстремума на функция с няколко променливи, тъй като икономическите показатели са съставени от много фактори. Въпроси като този са добри.изучава се в теорията на функциите на няколко променливи, като се прилагат методи за диференциално изчисление. Такива проблеми включват не само максимизирани и минимизирани функции, но и ограничения. Такива въпроси са свързани с математическото програмиране и се решават с помощта на специално разработени методи, също базирани на този клон на науката.

Сред методите на диференциалното смятане, използвани в икономиката, важен раздел е маргиналният анализ. В икономическата сфера този термин се отнася до набор от методи за изследване на променливи показатели и резултати при промяна на обема на създаване, потребление, въз основа на анализа на техните пределни показатели. Ограничаващият индикатор е производната или частичните производни с няколко променливи.

Диференциалното смятане на няколко променливи е важна тема в областта на математическия анализ. За подробно проучване можете да използвате различни учебници за висше образование. Един от най-известните е създаден от Фихтенголтс - "Курс по диференциално и интегрално смятане". Както подсказва името, уменията за работа с интеграли са от голямо значение за решаването на диференциални уравнения. Когато се извърши диференциалното изчисление на функция на една променлива, решението става по-просто. Въпреки че, трябва да се отбележи, той подлежи на същите основни правила. За да се изучава функция на практика чрез диференциално смятане, е достатъчно да се следва вече съществуващият алгоритъм, който се дава в гимназията и само леко се усложнява при въвеждането на нови.променливи.