Площта на страничната повърхност и обема на пресечена пирамида: формули и пример за решаване на типичен проблем

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

При изучаване на свойствата на фигурите в триизмерно пространство в рамките на стереометрията често се налага да се решават задачи за определяне на обема и повърхността. В тази статия ще покажем как да изчислим обема и страничната повърхност за пресечена пирамида с помощта на добре познати формули.

Пирамида в геометрията

В геометрията обикновена пирамида е фигура в пространството, която е изградена върху някакъв плосък n-ъгълник. Всичките му върхове са свързани към една точка, разположена извън равнината на многоъгълника. Например, ето снимка, показваща петоъгълна пирамида.

Тази фигура се формира от лица, върхове и ръбове. Петоъгълното лице се нарича основа. Останалите триъгълни лица образуват страничната повърхност. Точката на пресичане на всички триъгълници е главният връх на пирамидата. Ако от него се спусне перпендикуляр към основата, тогава са възможни две опции за позицията на пресечната точка:

• в геометричния център, тогава пирамидата се нарича права линия;
• не е вгеометричен център, тогава фигурата ще бъде наклонена.

По-нататък ще разгледаме само прави фигури с правилна n-ъгълна основа.

Каква е тази фигура - пресечена пирамида?

За да се определи обемът на пресечена пирамида, е необходимо ясно да се разбере коя фигура е конкретно въпрос. Нека изясним този въпрос.

Да предположим, че вземаме режеща равнина, която е успоредна на основата на обикновена пирамида и с нея отрязваме част от страничната повърхност. Ако тази операция се извърши с петоъгълната пирамида, показана по-горе, ще получите фигура като на фигурата по-долу.

От снимката се вижда, че тази пирамида вече има две основи, като горната е подобна на долната, но е по-малка по размер. Страничната повърхност вече не е представена от триъгълници, а от трапеци. Те са равнобедрени и броят им съответства на броя на страните на основата. Отсечената фигура няма главен връх, като правилна пирамида, а височината й се определя от разстоянието между успоредните основи.

В общия случай, ако разглежданата фигура е образувана от n-ъгълни основи, тя има n+2 лица или страни, 2n върха и 3n ръбове. Тоест пресечената пирамида е полиедър.

Формула за обема на пресечена пирамида

Припомнете си, че обемът на обикновена пирамида е 1/3 от произведението на нейната височина и основна площ. Тази формула не е подходяща за пресечена пирамида, тъй като има две основи. И неговия обемвинаги ще бъде по-малка от същата стойност за обикновената цифра, от която е получена.

Без да навлизаме в математическите подробности за получаването на израза, представяме окончателната формула за обема на пресечена пирамида. Пише се по следния начин:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Тук S₁ и S_{2 са площите на долната и горната основа, съответно, h е височината на фигурата. Писменият израз е валиден не само за права правилна пресечена пирамида, но и за всяка фигура от този клас. Освен това, независимо от вида на базовите многоъгълници. Единственото условие, ограничаващо използването на израза за V, е необходимостта основите на пирамидата да са успоредни една на друга.}

Могат да се направят няколко важни заключения чрез изучаване на свойствата на тази формула. И така, ако площта на горната основа е нула, тогава стигаме до формулата за V на обикновена пирамида. Ако площите на основите са равни една на друга, тогава получаваме формулата за обема на призмата.

Как да определим страничната повърхност?

Познаването на характеристиките на пресечена пирамида изисква не само способността да се изчисли нейния обем, но и да знаете как да определите площта на страничната повърхност.

Осечената пирамида се състои от два вида лица:

• равнобедрен трапец;
• многоъгълни бази.

Ако има правилен многоъгълник в основите, тогава изчисляването на неговата площ не представлява голямотрудности. За да направите това, трябва само да знаете дължината на страната a и техния номер n.

В случай на странична повърхност, изчисляването на нейната площ включва определяне на тази стойност за всеки от n трапеца. Ако n-ъгълникът е правилен, тогава формулата за страничната повърхност става:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Тук h_b е височината на трапеца, който се нарича апотема на фигурата. Количествата a₁ и a_{2са дължините на страните на правилните n-ъгълни бази.}

За всяка редовна n-ъгълна пресечена пирамида, апотемата h_b може да бъде еднозначно дефинирана чрез параметрите a₁ и a _{2и височината h на фигурата.}

Задачата за изчисляване на обема и площта на фигура

Дадена е правилна триъгълна пресечена пирамида. Известно е, че нейната височина h е 10 см, а дължините на страните на основите са 5 см и 3 см. Какъв е обемът на пресечена пирамида и площта на нейната странична повърхност?

Първо, нека изчислим стойността V. За да направите това, намерете площите на равностранните триъгълници, разположени в основите на фигурата. Имаме:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 см^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 см²

Заместете данните във формулата за V, получаваме желания обем:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

За да определите страничната повърхност, трябва да знаетедължина на апотема h_{b. Като се има предвид съответния правоъгълен триъгълник вътре в пирамидата, можем да напишем равенството за него:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Стойността на апотема и страните на триъгълните основи се заменят с израза за S_{bи получаваме отговора:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 см²

Така отговорихме на всички въпроси на задачата: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.