Цилиндър: странична повърхност. Формулата за площта на страничната повърхност на цилиндъра

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

При изучаване на стереометрия една от основните теми е "Цилиндър". Площта на страничната повърхност се счита, ако не за основна, то за важна формула при решаването на геометрични задачи. Важно е обаче да запомните дефинициите, които ще ви помогнат да се ориентирате в примери и при доказване на различни теореми.

Концепция на цилиндъра

Първо трябва да разгледаме няколко дефиниции. Едва след като ги изучавате, можете да започнете да разглеждате въпроса за формулата за площта на страничната повърхност на цилиндъра. Въз основа на този запис могат да бъдат изчислени други изрази.

• Цилиндрична повърхност се разбира като равнина, описана от образуваща, движеща се и оставаща успоредна на дадена посока, плъзгаща се по съществуваща крива.
• Има и второ определение: цилиндрична повърхност се образува от набор от успоредни линии, пресичащи дадена крива.
• Генеративната условно се нарича височина на цилиндъра. Когато се движи около ос, минаваща през центъра на основата,се получава определеното геометрично тяло.
• Под оста се има предвид права линия, минаваща през двете основи на фигурата.
• Цилиндърът е стереометрично тяло, ограничено от пресичаща се странична повърхност и 2 успоредни равнини.

Има разновидности на тази триизмерна фигура:

1. Кръглата е цилиндър, чийто водач е кръг. Основните му компоненти са радиусът на основата и образуващата. Последното е равно на височината на фигурата.
2. Има прав цилиндър. Получи името си поради перпендикулярността на образуващата спрямо основите на фигурата.
3. Третият вид е цилиндър със скосени части. В учебниците можете да намерите и друго име за него - "кръг цилиндър със скосена основа". Тази цифра определя радиуса на основата, минималната и максималната височини.
4. Равностранен цилиндър се разбира като тяло с еднаква височина и диаметър на кръгова равнина.

Символи

Традиционно основните "компоненти" на цилиндъра се наричат, както следва:

• Радиусът на основата е R (той също замества същата стойност на стереометрична фигура).
• Генеративно – L.
• Височина – H.
• Основна площ - S_{база(с други думи, трябва да намерите посочения параметър на кръга).}
• Скосени височини на цилиндрите – h₁, h_{2(минимум и максимум).}
• Площ на страничната повърхност - S_{страна (ако я разширите, получаватенещо като правоъгълник).}
• Обемът на стереометрична фигура - V.
• Обща повърхност – S.

„Компоненти” на стереометрична фигура

При изучаване на цилиндър, страничната повърхност играе важна роля. Това се дължи на факта, че тази формула е включена в няколко други, по-сложни. Следователно е необходимо да сте добре запознат с теорията.

Основните компоненти на фигурата са:

1. Странична повърхност. Както знаете, той се получава поради движението на образуващата по дадена крива.
2. Пълната повърхност включва съществуващи основи и странична равнина.
3. Секцията на цилиндъра, като правило, е правоъгълник, разположен успоредно на оста на фигурата. Иначе се нарича самолет. Оказва се, че дължината и ширината са частични компоненти на други фигури. Така че, условно, дължините на секцията са генератори. Ширина - успоредни акорди на стереометрична фигура.
4. Аксиално сечение означава местоположението на равнината през центъра на тялото.
5. И накрая, окончателното определение. Тангента е равнина, минаваща през образуващата на цилиндъра и под прав ъгъл спрямо аксиалното сечение. В този случай трябва да бъде изпълнено едно условие. Посочената генерираща трябва да бъде включена в равнината на аксиалното сечение.

Основни формули за работа с цилиндър

За да се отговори на въпроса как да се намери повърхността на цилиндъра, е необходимо да се проучат основните "компоненти" на стереометрична фигура и формулите за намирането им.

Тези формули се различават по това, че първо са дадени изразите за скосения цилиндър, а след това за правия.

Деконструирани примери

Задача 1.

Необходимо е да се знае площта на страничната повърхност на цилиндъра. Даден е диагоналът на сечението AC=8 cm (освен това е аксиален). При контакт с генератора се оказва _<ACD=30°

Решение. Тъй като стойностите на диагонала и ъгъла са известни, то в този случай:

CD=ACcos 30°

Коментар. Триъгълникът ACD, в този конкретен пример, е правоъгълен триъгълник. Това означава, че частното на разделянето на CD и AC=косинусът на дадения ъгъл. Стойността на тригонометричните функции може да се намери в специална таблица.

По подобен начин можете да намерите стойността на AD:

AD=ACsin 30°

Сега трябва да изчислите желания резултат, като използвате следната формулировка: площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на удвоения резултат от умножаването на "pi", радиуса на фигурата и нейната височина. Трябва да се използва и друга формула: площта на основата на цилиндъра. Той е равен на резултата от умножаването на "pi" по квадрата на радиуса. И накрая, последната формула: обща повърхност. То е равно на сбора от предходните две области.

Задача 2.

Цилиндрите са дадени. Техният обем=128n cm³. Кой цилиндър има най-малъкпълна повърхност?

Решение. Първо трябва да използвате формулите за намиране на обема на фигура и нейната височина.

Тъй като общата повърхност на цилиндъра е известна от теорията, трябва да се приложи неговата формула.

Ако разгледаме получената формула като функция на площта на цилиндъра, тогава минималният "индикатор" ще бъде достигнат в точката на екстремум. За да получите последната стойност, трябва да използвате диференциране.

Формулите могат да се видят в специална таблица за намиране на производни. В бъдеще намереният резултат се приравнява на нула и се намира решението на уравнението.

Отговор: S_{min ще бъде достигната при h=1/32 cm, R=64 cm.}

Проблем 3.

Дадена е стереометрична фигура - цилиндър и разрез. Последното се извършва по такъв начин, че да е разположено успоредно на оста на стереометричното тяло. Цилиндърът има следните параметри: VK=17 см, h=15 см, R=5 см. Необходимо е да се намери разстоянието между сечението и оста.

Решение.

Тъй като напречното сечение на цилиндъра се разбира като VSCM, т.е. правоъгълник, неговата страна VM=h. WMC трябва да се вземе предвид. Триъгълникът е правоъгълен. Въз основа на това твърдение можем да изведем правилното предположение, че MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

От тук можем да заключим, че MK=BC=8 cm.

Следващата стъпка е да начертаете разрез през основата на фигурата. Необходимо е да се вземе предвид получената равнина.

AD – диаметър на стереометрична фигура. Той е успореден на секцията, спомената в формулировката на проблема.

BC е права линия, разположена в равнината на съществуващия правоъгълник.

ABCD е трапец. В конкретен случай се счита за равнобедрен, тъй като около него е описан кръг.

Ако намерите височината на получения трапец, можете да получите отговора, даден в началото на задачата. А именно: намиране на разстоянието между оста и начертаното сечение.

За да направите това, трябва да намерите стойностите на AD и OS.

Отговор: секцията се намира на 3 см от оста.

Проблеми при консолидирането на материала

Пример 1.

Даден цилиндър. Страничната повърхност се използва в следващото решение. Известни са и други опции. Площта на основата е Q, площта на аксиалното сечение е M. Необходимо е да се намери S. С други думи, общата площ на цилиндъра.

Пример 2.

Даден цилиндър. Площта на страничната повърхност трябва да бъде намерена в една от стъпките за решаване на проблема. Известно е, че височина=4 см, радиус=2 см. Необходимо е да се намери общата площ на стереометрична фигура.