Когато разглеждаме фигури в пространството, често възникват проблеми при определянето на тяхната повърхност. Една такава фигура е конусът. Помислете в статията каква е страничната повърхност на конус с кръгла основа, както и на пресечен конус.
Конус с кръгла основа
Преди да пристъпим към разглеждането на страничната повърхност на конуса, ще покажем какъв вид фигура е и как да я получим с помощта на геометрични методи.
Вземете правоъгълен триъгълник ABC, където AB и AC са катета. Нека поставим този триъгълник върху катет AC и да го завъртим около катета AB. В резултат на това страните AC и BC описват две повърхности на фигурата, показана по-долу.
Фигурата, получена чрез въртене, се нарича кръгъл прав конус. Тя е кръгла, защото основата й е кръг, и права, защото перпендикуляр, изтеглен от горната част на фигурата (точка B), пресича кръга в центъра му. Дължината на този перпендикуляр се нарича височина. Очевидно е равно на катета AB. Височината обикновено се обозначава с буквата h.
Освен височината, разглежданият конус се описва с още две линейни характеристики:
- генерираща, или генерираща (хипотенуза BC);
- базов радиус (крак AC).
Радиусът ще се обозначава с буквата r, а генератора с g. След това, като вземем предвид питагоровата теорема, можем да запишем равенството, важно за разглежданата фигура:
g2=h2+ r2
Конична повърхност
Совокупността от всички генератриси образува конична или странична повърхност на конус. На външен вид е трудно да се каже на коя плоска фигура отговаря. Последното е важно да се знае при определяне на площта на конична повърхност. За решаване на този проблем се използва методът на почистване. Състои се в следното: повърхност се разрязва мислено по произволна образуваща и след това се разгъва върху равнина. С този метод за получаване на размах се образува следната плоска фигура.
Както може да се досетите, кръгът съответства на основата, но кръговият сектор е конична повърхност, чиято площ ни интересува. Секторът е ограничен от две генератриси и дъга. Дължината на последния е точно равна на периметъра (дължината) на обиколката на основата. Тези характеристики определят еднозначно всички свойства на кръговия сектор. Няма да даваме междинни математически изчисления, а веднага запишете крайната формула, с помощта на която можете да изчислите площта на страничната повърхност на конуса. Формулата е:
Sb=pigr
Площта на конична повърхност Sb е равна на произведението на два параметъра и Pi.
Осечен конус и неговата повърхност
Ако вземем обикновен конус и отрежем върха му с успоредна равнина, останалата фигура ще бъде пресечен конус. Страничната му повърхност е ограничена от две кръгли основи. Нека обозначим техните радиуси като R и r. Означаваме височината на фигурата с h, а образуващата с g. По-долу е изрезка от хартия за тази фигура.
Вижда се, че страничната повърхност вече не е кръгъл сектор, а е с по-малка площ, тъй като централната част е отрязана от нея. Развитието е ограничено до четири линии, две от които са отсечки-генератори на права линия, другите две са дъги с дължините на съответните окръжности на основите на пресечения конус.
Странична повърхност Sb се изчислява, както следва:
Sb=pig(r + R)
Генератрисата, радиусите и височината са свързани със следното равенство:
g2=h2+ (R - r)2
Проблемът с равенството на площите на фигурите
Даден е конус с височина 20 см и основен радиус 8 см. Необходимо е да се намери височината на пресечен конус, чиято странична повърхност ще има същата площ като този конус. Отсечената фигура е изградена върху същата основа, а радиусът на горната основа е 3 см.
На първо място, нека запишем условието за равенство на площите на конуса и отсечената фигура. Имаме:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Сега нека напишем изразите за генератрите на всяка форма:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Заместете g1 и g2 във формулата за равни площи и квадратура на лявата и дясната страна, получаваме:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Откъде получаваме израза за h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Няма да опростяваме това равенство, а просто ще заменим данните, известни от условието:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 см
По този начин, за да се изравнят площите на страничните повърхности на фигурите, пресечения конус трябва да има параметрите: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 см.
