Всеки ученик е чувал за кръгъл конус и си представя как изглежда тази триизмерна фигура. Тази статия дефинира развитието на конус, предоставя формули, които описват неговите характеристики и описва как да го конструирате с помощта на пергел, транспортир и линейка.
Кръгов конус в геометрията
Нека дадем геометрична дефиниция на тази фигура. Кръглият конус е повърхност, която е образувана от прави сегменти, свързващи всички точки от определен кръг с една точка в пространството. Тази единствена точка не трябва да принадлежи на равнината, в която лежи окръжността. Ако вземем кръг вместо кръг, тогава този метод също води до конус.
Кръгът се нарича основата на фигурата, а обиколката му е директрисата. Сегментите, свързващи точката с директрисата, се наричат генератриси или генератори, а точката, където се пресичат, е върха на конуса.
Кръглият конус може да бъде прав и наклонен. И двете фигури са показани на фигурата по-долу.
Разликата между тях е следната: ако перпендикулярът от върха на конуса пада точно до центъра на окръжността, тогава конусът ще бъде прав. За него перпендикулярът, който се нарича височина на фигурата, е част от неговата ос. В случай на наклонен конус, височината и оста образуват остър ъгъл.
Поради простотата и симетрията на фигурата, ние ще разгледаме по-нататък свойствата само на десен конус с кръгла основа.
Получаване на форма чрез завъртане
Преди да пристъпите към разглеждане на развитието на повърхността на конус, е полезно да знаете как тази пространствена фигура може да бъде получена с помощта на въртене.
Да предположим, че имаме правоъгълен триъгълник със страни a, b, c. Първите два от тях са катети, c е хипотенузата. Нека поставим триъгълник на катет a и да започнем да го въртим около катет b. Тогава хипотенузата c ще опише конична повърхност. Тази проста техника на конус е показана на диаграмата по-долу.
Очевидно, крак a ще бъде радиусът на основата на фигурата, крак b ще бъде неговата височина, а хипотенузата c съответства на образуващата на кръгъл десен конус.
Изглед на развитието на конуса
Както може да се досетите, конусът е образуван от два вида повърхности. Един от тях е плоска основа. Да предположим, че има радиус r. Втората повърхност е странична и се нарича конична. Нека неговият генератор е равен на g.
Ако имаме хартиен конус, тогава можем да вземем ножица и да отрежем основата от него. След това коничната повърхност трябва да бъде отрязанапо протежение на произволна генерираща и я разгърнете в самолета. По този начин получихме развитие на страничната повърхност на конуса. Двете повърхности, заедно с оригиналния конус, са показани на диаграмата по-долу.
Основният кръг е изобразен долу вдясно. Разгънатата конична повърхност е показана в центъра. Оказва се, че отговаря на някакъв кръгов сектор от окръжността, чийто радиус е равен на дължината на образуващата g.
Изместване на ъгъл и площ
Сега получаваме формули, които, използвайки известните параметри g и r, ни позволяват да изчислим площта и ъгъла на конуса.
Очевидно, дъгата на кръговия сектор, показана по-горе на фигурата, има дължина, равна на обиколката на основата, тоест:
l=2pir.
Ако целият кръг с радиус g е построен, тогава неговата дължина ще бъде:
L=2pig.
Тъй като дължината L съответства на 2pi радиана, тогава ъгълът, върху който лежи дъгата l, може да се определи от съответната пропорция:
L==>2pi;
l==> φ.
Тогава неизвестният ъгъл φ ще бъде равен на:
φ=2pil/L.
Замествайки изразите за дължините l и L, стигаме до формулата за ъгъла на развитие на страничната повърхност на конуса:
φ=2pir/g.
Ъгълът φ тук се изразява в радиани.
За да определим площта Sb на кръгов сектор, ще използваме намерената стойност на φ. Правим още една пропорция, само за площите. Имаме:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Откъде да се изрази Sb и след това заменете стойността на ъгъла φ. Получаваме:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
За площта на конична повърхност получихме доста компактна формула. Стойността на Sb е равна на произведението на три фактора: pi, радиуса на фигурата и нейната генерираща.
Тогава площта на цялата повърхност на фигурата ще бъде равна на сумата от Sb и So (кръгла основна площ). Получаваме формулата:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Изграждане на конус върху хартия
За да изпълните тази задача ще ви трябва лист хартия, молив, транспортир, линийка и пергел.
Първо, нека начертаем правоъгълен триъгълник със страни 3 см, 4 см и 5 см. Завъртането му около катета от 3 см ще даде желания конус. Фигурата има r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Изграждането на размах ще започне с начертаване на кръг с радиус r с компас. Дължината му ще бъде равна на 6pi см. Сега до него ще нарисуваме друг кръг, но с радиус g. Дължината му ще съответства на 10pi см. Сега трябва да отрежем кръгъл сектор от голям кръг. Неговият ъгъл φ е:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Сега оставяме този ъгъл с транспортир върху окръжност с радиус g и начертаваме два радиуса, които ще ограничат кръговия сектор.
И такаТака изградихме разработка на конуса с посочените параметри радиус, височина и образуваща.
Пример за решаване на геометрична задача
Даден е кръгъл прав конус. Известно е, че ъгълът на страничното му завъртане е 120o. Необходимо е да се намери радиусът и образуващата на тази фигура, ако е известно, че височината h на конуса е 10 cm.
Задачата не е трудна, ако си припомним, че кръгъл конус е фигура на въртене на правоъгълен триъгълник. От този триъгълник следва недвусмислена връзка между височина, радиус и образуваща. Нека напишем съответната формула:
g2=h2+ r2.
Вторият израз, който се използва при решаване, е формулата за ъгъла φ:
φ=2pir/g.
По този начин имаме две уравнения, свързани с две неизвестни величини (r и g).
Изразете g от втората формула и заместете резултата с първата, получаваме:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Ъгъл φ=120o в радиани е 2pi/3. Заместваме тази стойност, получаваме окончателните формули за r и g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Остава да замените стойността на височината и да получите отговора на проблемния въпрос: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
