Конусът е една от пространствените фигури на въртене, чиито характеристики и свойства се изследват чрез стереометрия. В тази статия ще дефинираме тази фигура и ще разгледаме основните формули, свързващи линейните параметри на конуса с неговата повърхност и обем.
Какво е конус?
От гледна точка на геометрията, говорим за пространствена фигура, която се формира от набор от прави сегменти, свързващи определена точка от пространството с всички точки на гладка плоска крива. Тази крива може да бъде кръг или елипса. Фигурата по-долу показва конус.
Представената фигура няма обем, тъй като стените на нейната повърхност имат безкрайно малка дебелина. Ако обаче е изпълнен с вещество и ограничен отгоре не с крива, а с плоска фигура, например кръг, тогава ще получим твърдо обемно тяло, което също обикновено се нарича конус.
Формата на конус често може да се намери в живота. И така, има фунийка за сладолед или ивици черни и оранжеви шишарки за движение, които са поставени на пътното платно, за да привлекат вниманието на участниците в движението.
Елементи на конус и неговите типове
Тъй като конусът не е полиедър, броят на елементите, които го образуват, не е толкова голям, колкото при полиедрите. В геометрията общият конус се състои от следните елементи:
- база, чиято ограничаваща крива се нарича директриса или пораждаща;
- на страничната повърхност, която е съвкупност от всички точки на отсечки от прави линии (генератриси), свързващи върха и точките на водещата крива;
- върх, който е пресечната точка на генеративните точки.
Забележете, че върхът не трябва да лежи в равнината на основата, тъй като в този случай конусът се изражда в плоска фигура.
Ако начертаем перпендикулярен сегмент от върха към основата, ще получим височината на фигурата. Ако последната основа се пресича в геометричния център, тогава това е прав конус. Ако перпендикулярът не съвпада с геометричния център на основата, тогава фигурата ще бъде наклонена.
Прави и наклонени конуси са показани на фигурата. Тук височината и радиусът на основата на конуса се означават съответно с h и r. Линията, която свързва горната част на фигурата и геометричния център на основата, е оста на конуса. От фигурата се вижда, че за права фигура височината лежи върху тази ос, а за наклонена фигура височината образува ъгъл с оста. Оста на конуса е обозначена с буквата a.
Прав конус с кръгла основа
Може би този конус е най-често срещаният от разглеждания клас фигури. Състои се от кръг и странаповърхности. Не е трудно да се получи чрез геометрични методи. За да направите това, вземете правоъгълен триъгълник и го завъртете около ос, съвпадаща с един от краката. Очевидно този крак ще стане височината на фигурата, а дължината на втория крак на триъгълника образува радиуса на основата на конуса. Диаграмата по-долу демонстрира описаната схема за получаване на въпросната фигура на въртене.
Изобразеният триъгълник може да се завърти около друг крак, което ще доведе до конус с по-голям радиус на основата и по-ниска височина от първия.
За да се определят недвусмислено всички параметри на кръгъл прав конус, трябва да се знаят каквито и да е две от неговите линейни характеристики. Сред тях се разграничават радиусът r, височината h или дължината на генериращата g. Всички тези величини са дължините на страните на разглеждания правоъгълен триъгълник, следователно, Питагоровата теорема е валидна за тяхната връзка:
g2=r2+ h2.
Площ на повърхността
Когато изучавате повърхността на всяка триизмерна фигура, е удобно да използвате нейното развитие на равнина. Конусът не е изключение. За кръгъл конус развитието е показано по-долу.
Виждаме, че разгъването на фигурата се състои от две части:
- Кръгът, който образува основата на конуса.
- Секторът на кръга, който е коничната повърхност на фигурата.
Площта на кръг е лесна за намиране и съответната формула е известна на всеки ученик. Говорейки за кръговия сектор, отбелязваме, че тойе част от окръжност с радиус g (дължината на образуващата на конуса). Дължината на дъгата на този сектор е равна на обиколката на основата. Тези параметри позволяват недвусмислено да се определи неговата площ. Съответната формула е:
S=pir2+ pirg.
Първият и вторият член в израза са съответно конусът на основата и страничната повърхност на площта.
Ако дължината на генератора g е неизвестна, но е дадена височината h на фигурата, тогава формулата може да бъде пренаписана като:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Обемът на фигурата
Ако вземем права пирамида и увеличим броя на страните на основата й в безкрайност, тогава формата на основата ще клони към кръг, а страничната повърхност на пирамидата ще се приближи до коничната повърхност. Тези съображения ни позволяват да използваме формулата за обема на пирамида, когато изчисляваме подобна стойност за конус. Обемът на конус може да се намери по формулата:
V=1/3hSo.
Тази формула винаги е вярна, независимо каква е основата на конуса, с площ So. Освен това, формулата важи и за наклонения конус.
Тъй като изучаваме свойствата на права фигура с кръгла основа, можем да използваме следния израз, за да определим нейния обем:
V=1/3hpir2.
Формулата е очевидна.
Проблемът с намирането на повърхността и обема
Нека е даден конус, чийто радиус е 10 см, а дължината на образуващата е 20вижте Необходимостта от определяне на обем и повърхност за тази форма.
За да изчислите площта S, можете веднага да използвате формулата, написана по-горе. Имаме:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
За да определите обема, трябва да знаете височината h на фигурата. Изчисляваме го, използвайки връзката между линейните параметри на конуса. Получаваме:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 см.
Сега можете да използвате формулата за V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83 см3.
Забележете, че обемът на кръглия конус е една трета от цилиндъра, в който е вписан.
