Площта на страничната повърхност на правилна четириъгълна пирамида: формули и примери за проблеми

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Типични геометрични проблеми в равнината и в триизмерното пространство са проблемите за определяне на повърхностните площи на различни форми. В тази статия представяме формулата за площта на страничната повърхност на правилна четириъгълна пирамида.

Какво е пирамида?

Нека дадем строга геометрична дефиниция на пирамида. Да предположим, че има някакъв многоъгълник с n страни и n ъгли. Избираме произволна точка в пространството, която няма да бъде в равнината на посочения n-ъгълник, и я свързваме с всеки връх на многоъгълника. Ще получим фигура, която има някакъв обем, която се нарича n-ъгълна пирамида. Например, нека покажем на фигурата по-долу как изглежда петоъгълна пирамида.

Два важни елемента на всяка пирамида са нейната основа (n-ъгъл) и върха. Тези елементи са свързани помежду си с n триъгълника, които като цяло не са равни един на друг. Перпендикулярно изпуснат ототгоре надолу се нарича височина на фигурата. Ако пресича основата в геометричния център (съвпада с центъра на масата на многоъгълника), тогава такава пирамида се нарича права линия. Ако в допълнение към това условие основата е правилен многоъгълник, тогава цялата пирамида се нарича правилна. Фигурата по-долу показва как изглеждат правилните пирамиди с триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и шестоъгълни основи.

Повърхност на пирамидата

Преди да се обърнем към въпроса за площта на страничната повърхност на правилна четириъгълна пирамида, трябва да се спрем на концепцията за самата повърхност.

Както е споменато по-горе и е показано на фигурите, всяка пирамида се формира от набор от лица или страни. Едната страна е основата, а n страни са триъгълници. Повърхността на цялата фигура е сумата от площите на всяка от нейните страни.

Удобно е да се изучава повърхността на примера на разгъваща се фигура. Сканиране за правилна четириъгълна пирамида е показано на фигурите по-долу.

Виждаме, че неговата повърхност е равна на сбора от четири области на еднакви равнобедрени триъгълници и площта на квадрат.

Общата площ на всички триъгълници, които образуват страните на фигурата, се нарича площ на страничната повърхност. След това ще покажем как да го изчислим за правилна четириъгълна пирамида.

Площта на страничната повърхност на четириъгълна правилна пирамида

За изчисляване на площта на страничнатаповърхност на посочената фигура, отново се обръщаме към горното сканиране. Да предположим, че знаем страната на квадратната основа. Нека го обозначим със символ а. Вижда се, че всеки от четирите еднакви триъгълника има основа с дължина a. За да изчислите общата им площ, трябва да знаете тази стойност за един триъгълник. От курса по геометрия е известно, че площта на триъгълник S_{t е равна на произведението на основата и височината, която трябва да бъде разделена наполовина. Това е:}

S_t=1/2h_ba.

Където h_b е височината на равнобедрен триъгълник, начертан към основата a. За пирамида тази височина е апотема. Сега остава да умножите получения израз по 4, за да получите площта S_{b на страничната повърхност на въпросната пирамида:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Тази формула съдържа два параметъра: апотема и страната на основата. Ако последното е известно в повечето условия на задачите, тогава първото трябва да се изчисли, като се знаят други величини. Ето формулите за изчисляване на апотема h_{b за два случая:}

• когато дължината на страничното ребро е известна;
• когато височината на пирамидата е известна.

Ако обозначим дължината на страничния ръб (страната на равнобедрен триъгълник) със символа L, тогава апотемата h_{b се определя по формулата:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Този израз е резултат от прилагането на Питагоровата теорема за триъгълника със страничната повърхност.

Ако е известновисочината h на пирамидата, тогава апотемата h_{b може да се изчисли по следния начин:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Получаването на този израз също не е трудно, ако разгледаме вътре в пирамидата правоъгълен триъгълник, образуван от краката h и a/2 и хипотенузата h_b.

Нека покажем как да приложим тези формули, като решим два интересни проблема.

Проблем с известна повърхност

Известно е, че страничната повърхност на правилната четириъгълна пирамида е 108 cm². Необходимо е да се изчисли стойността на дължината на нейния апотем h_{b, ако височината на пирамидата е 7 cm.}

Нека напишем формулата за площта S_{b на страничната повърхност през височината. Имаме:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Тук току-що заместихме съответната формула на апотема в израза за S_{b. Нека квадратурираме двете страни на уравнението:}

S_b²=4a²h² + a^4.

За да намерим стойността на a, нека направим промяна на променливите:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Сега заместваме известните стойности и решаваме квадратното уравнение:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Изписахме само положителния корен на това уравнение. Тогава страните на основата на пирамидата ще бъдат:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

За да получите дължината на апотемата,просто използвайте формулата:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 виж}

Странична повърхност на Хеопсовата пирамида

Определете стойността на страничната повърхност на най-голямата египетска пирамида. Известно е, че в основата му лежи квадрат с дължина на страната 230,363 метра. Първоначално височината на конструкцията е 146,5 метра. Заместете тези числа в съответната формула за S_{b, получаваме:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Намерената стойност е малко по-голяма от площта на 17 футболни игрища.