В геометрията две важни характеристики се използват за изучаване на фигури: дължините на страните и ъглите между тях. В случай на пространствени фигури към тези характеристики се добавят двугранни ъгли. Нека разгледаме какво представлява и също така да опишем метода за определяне на тези ъгли, използвайки примера на пирамида.
Концепцията за двугранен ъгъл
Всеки знае, че две пресичащи се прави образуват ъгъл с върха в точката на тяхното пресичане. Този ъгъл може да бъде измерен с транспортир или можете да използвате тригонометрични функции, за да го изчислите. Ъгълът, образуван от два прави ъгъла, се нарича линеен.
Сега си представете, че в триизмерното пространство има две равнини, които се пресичат в права линия. Те са показани на снимката.
Двугранният ъгъл е ъгълът между две пресичащи се равнини. Точно като линейната, тя се измерва в градуси или радиани. Ако до която и да е точка от правата, по която се пресичат равнините, възстановете два перпендикуляра,лежащи в тези равнини, тогава ъгълът между тях ще бъде желаният двугранник. Най-лесният начин да определите този ъгъл е да използвате общите уравнения на равнините.
Уравнението на равнините и формулата за ъгъла между тях
Уравнението на всяка равнина в пространството в общи линии се записва, както следва:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Тук x, y, z са координатите на точките, принадлежащи на равнината, коефициентите A, B, C, D са някои известни числа. Удобството на това равенство за изчисляване на двугранни ъгли е, че то съдържа изрично координатите на вектора на посоката на равнината. Ще го означим с n¯. След това:
n¯=(A; B; C).
Векторът n¯ е перпендикулярен на равнината. Ъгълът между две равнини е равен на ъгъла между техните вектори на посоката n1¯ и n2¯. От математиката е известно, че ъгълът, образуван от два вектора, се определя еднозначно от скаларното им произведение. Това ви позволява да напишете формула за изчисляване на двугранния ъгъл между две равнини:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Ако заменим координатите на векторите, формулата ще бъде написана изрично:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Знакът за модул в числителя се използва за дефиниране само на остър ъгъл, тъй като двугранният ъгъл винаги е по-малък или равен на 90o.
Пирамида и нейните ъгли
Пирамидата е фигура, образувана от един n-ъгълник и n триъгълника. Тук n е цяло число, равно на броя на страните на многоъгълника, който е основата на пирамидата. Тази пространствена фигура е полиедър или полиедър, тъй като се състои от плоски лица (страни).
Диедричните ъгли на пирамида-многоедър могат да бъдат два вида:
- между основата и страната (триъгълник);
- между две страни.
Ако пирамидата се счита за правилна, тогава е лесно да се определят посочените ъгли за нея. За да направите това, използвайки координатите на три известни точки, трябва да съставите уравнение на равнините и след това да използвате формулата, дадена в параграфа по-горе за ъгъла φ.
По-долу даваме пример, в който показваме как се намират двугранни ъгли в основата на четириъгълна правилна пирамида.
Четириъгълна правилна пирамида и ъгъл в основата й
Да приемем, че е дадена правилна пирамида с квадратна основа. Дължината на страната на квадрата е a, височината на фигурата е h. Намерете ъгъла между основата на пирамидата и нейната страна.
Нека поставим началото на координатната система в центъра на квадрата. След това координатите на точкитеA, B, C, D, показани на снимката, ще бъдат:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Да разгледаме равнините ACB и ADB. Очевидно векторът на посоката n1¯ за равнината ACB ще бъде:
1¯=(0; 0; 1).
За да определите вектора на посоката n2¯ на ADB равнината, продължете както следва: намерете два произволни вектора, които й принадлежат, например AD¯ и AB¯, след това изчислете тяхната векторна работа. Резултатът му ще даде координатите n2¯. Имаме:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Тъй като умножението и деленето на вектор с число не променя посоката му, ние трансформираме полученото n2¯, разделяйки координатите му на -a, получаваме:
2¯=(h; 0; a/2).
Ние сме дефинирали векторни водачи n1¯ и n2¯ за ACB основа и ADB странични равнини. Остава да използваме формулата за ъгъла φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Трансформирайте получения израз и го пренапишете така:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Получихме формулата за двугранния ъгъл в основата за правилна четириъгълна пирамида. Като знаете височината на фигурата и дължината на нейната страна, можете да изчислите ъгъла φ. Например, за пирамидата на Хеопс, чиято основна страна е 230,4 метра, а първоначалната височина е 146,5 метра, ъгълът φ ще бъде 51,8o.
Възможно е също така да се определи двугранният ъгъл за четириъгълна правилна пирамида с помощта на геометричния метод. За да направите това, достатъчно е да разгледаме правоъгълен триъгълник, образуван от височина h, половината от дължината на основата a/2 и апотема на равнобедрен триъгълник.
