Разделът от физиката, който изучава особеностите на движението на течните среди, се нарича хидродинамика. Един от основните математически изрази на хидродинамиката е уравнението на Бернули за идеален флуид. Статията е посветена на тази тема.
Какво е идеалната течност?
Много хора знаят, че течната субстанция е такова агрегатно състояние на материята, което запазва обем при постоянни външни условия, но променя формата си при най-малкото въздействие върху него. Идеалната течност е течно вещество, което няма вискозитет и е несвиваемо. Това са двете основни свойства, които го отличават от истинските течности.
Забележете, че почти всички реални течности могат да се считат за несвиваеми, тъй като малка промяна в обема им изисква огромно външно налягане. Например, ако създадете налягане от 5 атмосфери (500 kPa), тогава водата ще увеличи плътността си само с 0,024%. Що се отнася до въпроса за вискозитета, за редица практически проблеми, когато водата се разглежда като работен флуид, той може да бъде пренебрегнат. За пълнота отбелязваме товадинамичният вискозитет на водата при 20 oC е 0,001 Pas2, което е оскъдно в сравнение с тази стойност за мед (>2000).
Важно е да не се бъркат понятията идеален флуид и идеален газ, тъй като последният е лесно компресим.
Уравнение за непрекъснатост
В хидродинамиката движението на идеален флуид започва да се разглежда от изследването на уравнението на непрекъснатостта на неговия поток. За да се разбере същността на въпроса, е необходимо да се разгледа движението на течността през тръбата. Представете си, че на входа тръбата има площ на сечение A1, а на изхода A2.
Сега да предположим, че течността тече в началото на тръбата със скорост v1, това означава, че във времето t през участъка A1обем на потока V1=A1v1t. Тъй като течността е идеална, тоест несвиваема, точно същия обем вода трябва да излезе от края на тръбата за време t, получаваме: V2=A2 v2t. От равенството на обемите V1 и V2 следва уравнението за непрекъснатостта на потока на идеален флуид:
A1v1=A2v2.
От полученото уравнение следва, че ако A1>A2, тогава v1 трябва да бъде по-малко от v2. С други думи, чрез намаляване на напречното сечение на тръбата, ние по този начин увеличаваме скоростта на флуида, напускащ го. Очевидно този ефект е наблюдаван от всеки човек в живота си, който поне веднъж е поливал цветни лехи с маркуч илиградина, така че покривайки дупката на маркуча с пръст, можете да наблюдавате как струята вода, бликаща от него, става по-силна.
Уравнение за непрекъснатост за разклонена тръба
Интересно е да разгледаме случая на движение на идеален флуид през тръба, която има не един, а два или повече изхода, тоест тя е разклонена. Например, площта на напречното сечение на тръба на входа е A1, а към изхода тя се разклонява на две тръби със сечения A2и A3. Нека определим скоростите на потока v2 и v3, ако е известно, че водата влиза във входа със скорост v 1.
Използвайки уравнението за непрекъснатост, получаваме израза: A1v1=A2 v 2 + A3v3. За да решите това уравнение за неизвестни скорости, трябва да разберете, че на изхода, в каквато и тръба да е потокът, той се движи със същата скорост, тоест v2=v3. Този факт може да се разбере интуитивно. Ако изходната тръба е разделена на две части от някаква преграда, скоростта на потока няма да се промени. Като се има предвид този факт, получаваме решението: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Уравнение на Бернули за идеален флуид
Даниил Бернули, швейцарски физик и математик от холандски произход, в своя труд "Хидродинамика" (1734) представя уравнение за идеална течност, описващо нейното движение. Пише се в следната форма:
P+ ρv2/2 + ρgh=конст.
Този израз отразява закона за запазване на енергията в случай на флуиден поток. И така, първият член (P) е налягането, насочено по вектора на изместване на флуида, който описва работата на потока, вторият член (ρv2/2) е кинетичният енергия на течното вещество, а третият член (ρgh) е неговата потенциална енергия.
Припомнете си, че това уравнение е валидно за идеален флуид. В действителност винаги има триене на течно вещество по стените на тръбата и вътре в нейния обем, следователно в горното уравнение на Бернули се въвежда допълнителен член, който описва тези загуби на енергия.
Използване на уравнението на Бернули
Интересно е да се цитират някои изобретения, които използват изводи от уравнението на Бернули:
- Комин и абсорбатори. От уравнението следва, че колкото по-голяма е скоростта на движение на течно вещество, толкова по-ниско е неговото налягане. Скоростта на движение на въздуха в горната част на комина е по-голяма, отколкото в основата му, така че потокът от дим винаги клони нагоре поради разликата в налягането.
- Водопроводи. Уравнението помага да се разбере как ще се промени налягането на водата в тръбата, ако диаметърът на последната се промени.
- Самолети и Формула 1. Ъгълът на крилата на самолет и крило F1 осигурява разлика във въздушното налягане над и под крилото, което създава съответно сила на повдигане и надолу.
Режими на флуиден поток
Уравнението на Бернули не еотчита режима на движение на флуида, който може да бъде от два вида: ламинарен и турбулентен. Ламинарният поток се характеризира със спокоен поток, при който флуидните слоеве се движат по сравнително гладки траектории и не се смесват един с друг. Турбулентният режим на движение на флуида се характеризира с хаотичното движение на всяка молекула, която съставя потока. Характеристика на турбулентния режим е наличието на вихри.
По какъв начин ще тече течността зависи от редица фактори (характеристики на системата, например, наличието или отсъствието на грапавост по вътрешната повърхност на тръбата, вискозитета на веществото и скоростта на неговото движение движение). Преходът между разглежданите режими на движение се описва с числата на Рейнолдс.
Поразителен пример за ламинарен поток е бавното движение на кръвта през гладки кръвоносни съдове. Пример за турбулентен поток е силно налягане на водата от кран.
