Дори в училище всеки от нас изучаваше уравнения и със сигурност системи от уравнения. Но не много хора знаят, че има няколко начина за решаването им. Днес ще анализираме подробно всички методи за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, които се състоят от повече от две равенства.
История
Днес е известно, че изкуството за решаване на уравнения и техните системи произхожда от древния Вавилон и Египет. Равенствата в обичайната си форма обаче се появяват след появата на знака за равенство "=", който е въведен през 1556 г. от английския математик Рекорд. Между другото, този знак е избран по причина: означава два успоредни равни сегмента. Всъщност няма по-добър пример за равенство.
Основател на съвременните буквени обозначения на неизвестни и знаци за степени е френският математик Франсоа Виет. Неговите обозначения обаче се различаваха значително от днешните. Например, той обозначава квадрата на неизвестно число с буквата Q (лат. "quadratus"), а куба с буквата C (лат. "cubus"). Тези обозначения сега изглеждат неудобни, но тогаватова беше най-разбираемият начин за писане на системи от линейни алгебрични уравнения.
Въпреки това, недостатъкът на тогавашните методи за решаване е, че математиците смятат само положителните корени. Може би това се дължи на факта, че отрицателните стойности нямаха практическа полза. По един или друг начин италианските математици Николо Тарталия, Джероламо Кардано и Рафаел Бомбели са първите, които разглеждат отрицателните корени през 16 век. А модерният вид, основният метод за решаване на квадратни уравнения (чрез дискриминанта) е създаден едва през 17-ти век благодарение на работата на Декарт и Нютон.
В средата на 18-ти век швейцарският математик Габриел Крамер открива нов начин да улесни решаването на системи от линейни уравнения. Този метод впоследствие е кръстен на него и до ден днешен го използваме. Но ще говорим за метода на Крамер малко по-късно, но засега ще обсъдим линейните уравнения и методите за тяхното решаване отделно от системата.
Линейни уравнения
Линейните уравнения са най-простите равенства с променлива(и). Те се класифицират като алгебрични. Линейните уравнения се записват в общ вид, както следва: 2+…a x =b. Ще ни трябва тяхното представяне в тази форма, когато компилираме системи и матрици по-нататък.
Системи от линейни алгебрични уравнения
Определението на този термин е следното: това е набор от уравнения, които имат общи неизвестни и общо решение. По правило в училище всичко се решаваше от системис две или дори три уравнения. Но има системи с четири или повече компонента. Нека първо разберем как да ги запишем, така че да е удобно да ги решаваме по-късно. Първо, системите от линейни алгебрични уравнения ще изглеждат по-добре, ако всички променливи са записани като x със съответния индекс: 1, 2, 3 и т.н. Второ, всички уравнения трябва да се сведат до каноничната форма: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
След всички тези стъпки можем да започнем да говорим как да намерим решение на системи от линейни уравнения. Матриците ще бъдат много полезни за това.
Матрици
Матрицата е таблица, която се състои от редове и колони, а нейните елементи са разположени в пресечната им точка. Това могат да бъдат или конкретни стойности, или променливи. Най-често за обозначаване на елементи под тях се поставят индекси (например a11 или a23). Първият индекс означава номера на реда, а вторият - номера на колоната. Върху матрици, както и върху всеки друг математически елемент, можете да извършвате различни операции. Така че можете:
1) Извадете и добавете таблици със същия размер.
2) Умножете матрица по някакво число или вектор.
3) Транспониране: Превърнете редовете на матрицата в колони и колоните в редове.
4) Умножете матрици, ако броят на редовете на едната от тях е равен на броя на колоните на другата.
Ще обсъдим всички тези техники по-подробно, тъй като те ще ни бъдат полезни в бъдеще. Изваждането и добавянето на матрици е много лесно. Такатъй като вземаме матрици с еднакъв размер, тогава всеки елемент от една таблица съответства на всеки елемент от друга. Така събираме (изваждаме) тези два елемента (важно е те да са на едни и същи места в матриците си). Когато умножавате матрица по число или вектор, просто трябва да умножите всеки елемент от матрицата по това число (или вектор). Транспонирането е много интересен процес. Понякога е много интересно да го видите в реалния живот, например при промяна на ориентацията на таблет или телефон. Иконите на работния плот са матрица и когато промените позицията, тя се транспонира и става по-широка, но намалява на височина.
Нека да разгледаме още един такъв процес като умножението на матрици. Въпреки че няма да ни бъде полезно, все пак ще бъде полезно да го знаем. Можете да умножите две матрици само ако броят на колоните в едната таблица е равен на броя на редовете в другата. Сега да вземем елементите на ред от една матрица и елементите на съответната колона от друга. Ние ги умножаваме един по друг и след това ги събираме (тоест, например, произведението на елементите a11 и a12 по b 12и b22 ще бъде равно на: a11b12 + a 12 b22). Така се получава един елемент от таблицата, който се попълва допълнително по подобен метод.
Сега можем да започнем да разглеждаме как се решава системата от линейни уравнения.
Метод на Гаус
Тази тема започва да минава дори в училище. Познаваме добре понятието "система от две линейни уравнения" и знаем как да ги решаваме. Но какво ще стане, ако броят на уравненията е повече от две? Методът на Гаус ще ни помогне с това.
Разбира се, този метод е удобен за използване, ако правите матрица от системата. Но не можете да го трансформирате и разрешите в най-чистата му форма.
И така, как този метод решава системата от линейни уравнения на Гаус? Между другото, въпреки че този метод е кръстен на него, той е открит в древни времена. Гаус предлага следното: да се извършват операции с уравнения, за да се сведе в крайна сметка цялото множество до стъпаловидна форма. Тоест, необходимо е отгоре надолу (ако е поставено правилно) от първото уравнение до последното, едно неизвестно да намалява. С други думи, трябва да се уверим, че получаваме, да речем, три уравнения: в първото - три неизвестни, във второто - две, в третото - едно. След това от последното уравнение намираме първото неизвестно, заместваме неговата стойност във второто или първото уравнение и след това намираме останалите две променливи.
Метод на Крамер
За да овладеете този метод, е жизненоважно да овладеете уменията за събиране, изваждане на матрици, а също така трябва да можете да намирате детерминанти. Следователно, ако правите всичко това лошо или изобщо не знаете как, ще трябва да се научите и практикувате.
Каква е същността на този метод и как да го направим така, че да се получи система от линейни уравнения на Крамер? Всичко е много просто. Трябва да построим матрица от числови (почти винаги) коефициенти на система от линейни алгебрични уравнения. За да направите това, просто вземете числата пред неизвестните и ги подредететаблица в реда, в който са записани в системата. Ако числото е предшествано от знак "-", тогава записваме отрицателен коефициент. И така, съставихме първата матрица от коефициентите на неизвестните, без да включваме числата след знаците за равенство (естествено, уравнението трябва да се сведе до каноничния вид, когато само числото е вдясно, а всички неизвестни с коефициенти вляво). След това трябва да създадете още няколко матрици - по една за всяка променлива. За да направите това, заменяме на свой ред всяка колона с коефициенти в първата матрица с колона от числа след знака за равенство. Така получаваме няколко матрици и след това намираме техните детерминанти.
След като намерихме детерминантите, въпросът е малък. Имаме начална матрица и има няколко резултиращи матрици, които отговарят на различни променливи. За да получим решенията на системата, разделяме детерминанта на получената таблица на детерминанта на първоначалната таблица. Полученото число е стойността на една от променливите. По същия начин намираме всички неизвестни.
Други методи
Има още няколко метода за получаване на решение на системи от линейни уравнения. Например, така нареченият метод на Гаус-Джордън, който се използва за намиране на решения на система от квадратни уравнения и също е свързан с използването на матрици. Съществува и метод на Якоби за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Той е най-лесният за адаптиране към компютър и се използва в изчисленията.
Трудни случаи
Сложността обикновено възниква, когато броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Тогава можем да кажем със сигурност, че или системата е непоследователна (тоест няма корени), или броят на нейните решения клони към безкрайност. Ако имаме втория случай, тогава трябва да запишем общото решение на системата от линейни уравнения. Ще съдържа поне една променлива.
Заключение
Тук стигаме до края. Да обобщим: анализирахме какво представляват система и матрица, научихме се как да намерим общо решение на система от линейни уравнения. Освен това бяха разгледани и други опции. Разбрахме как се решава системата от линейни уравнения: методът на Гаус и методът на Крамер. Говорихме за трудни случаи и други начини за намиране на решения.
Всъщност тази тема е много по-обширна и ако искате да я разберете по-добре, ви съветваме да прочетете по-специализирана литература.
