Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв славен математически инструмент като диференциалните уравнения. Както всяко диференциално и интегрално смятане, тези уравнения са изобретени от Нютон в края на 17 век. Той смятал това свое откритие за толкова важно, че дори криптирал посланието, което днес може да се преведе така: „Всички природни закони се описват с диференциални уравнения“. Това може да изглежда като преувеличение, но е истина. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан с тези уравнения.
Математиците Ойлер и Лагранж имат огромен принос за развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения. Още през 18-ти век те откриват и развиват това, което сега изучават в висшите курсове на университетите.
Нов етап в изучаването на диференциалните уравнения започна благодарение на Анри Поанкаре. Той създава "качествена теория на диференциалните уравнения", която, в комбинация с теорията на функциите на комплексна променлива, има значителен принос в основата на топологията - науката за пространството и неговотосвойства.
Какво представляват диференциалните уравнения?
Много хора се страхуват от една фраза "диференциално уравнение". В тази статия обаче ще опишем подробно цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от името. За да започнете да говорите за диференциални уравнения от първи ред, първо трябва да се запознаете с основните понятия, които по своята същност са свързани с това определение. И ще започнем с диференциала.
Диференциал
Мнозина знаят тази концепция от училище. Нека обаче го разгледаме по-отблизо. Представете си графика на функция. Можем да го увеличим до такава степен, че всеки от сегментите му да приеме формата на права линия. На него вземаме две точки, които са безкрайно близки една до друга. Разликата между техните координати (x или y) ще бъде безкрайно малка стойност. Нарича се диференциал и се обозначава със знаците dy (диференциал от y) и dx (диференциал от x). Много е важно да се разбере, че диференциалът не е крайна стойност и това е неговото значение и основна функция.
И сега трябва да разгледаме следващия елемент, който ще ни бъде полезен при обяснението на концепцията за диференциално уравнение. Това е производната.
Производна
Всички вероятно сме чували в училище и тази концепция. Казват, че производната е скоростта на растеж или намаляване на функция. От това определение обачемного става неясно. Нека се опитаме да обясним производната от гледна точка на диференциали. Нека се върнем към един безкрайно малък сегмент от функция с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и за това разстояние функцията успява да се промени с известна стойност. И за да опишат тази промяна, те измислиха производна, която иначе може да се запише като съотношение на диференциали: f(x)'=df/dx.
Сега си струва да разгледаме основните свойства на производната. Има само три от тях:
- Производната на сбора или разликата може да бъде представена като сбор или разлика от производни: (a+b)'=a'+b' и (a-b)'=a'-b'.
- Второто свойство е свързано с умножението. Производната на продукт е сумата от произведенията на една функция и производната на друга: (ab)'=a'b+ab'.
- Производната на разликата може да се запише като следното равенство: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Всички тези свойства ще бъдат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.
Има и частични производни. Да кажем, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частичната производна на тази функция, да речем, по отношение на x, трябва да приемем променливата y като константа и просто да диференцираме.
Интеграл
Друга важна концепция е интегралът. Всъщност това е пряката противоположност на производната. Има няколко вида интеграли, но за да решим най-простите диференциални уравнения, се нуждаем от най-тривиалните неопределени интеграли.
И така, какво е интеграл? Да кажем, че имаме някаква зависимост fот х. Вземаме интеграла от него и получаваме функцията F (x) (често наричана антипроизводна), чиято производна е равна на първоначалната функция. Така F(x)'=f(x). От това също следва, че интегралът на производната е равен на първоначалната функция.
Когато решавате диференциални уравнения, е много важно да разберете значението и функцията на интеграла, тъй като ще трябва да ги приемате много често, за да намерите решението.
Уравненията са различни в зависимост от тяхното естество. В следващия раздел ще разгледаме видовете диференциални уравнения от първи ред и след това ще научим как да ги решаваме.
Класове диференциални уравнения
"Diffury" са разделени според реда на производните, участващи в тях. По този начин има първи, втори, трети и повече ред. Те също могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.
В тази статия ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Ще обсъдим също примери и начини за решаването им в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, защото това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и хетерогенни. След това ще научите как те се различават един от друг и ще научите как да ги решавате.
В допълнение, тези уравнения могат да се комбинират, така че след това да получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ще разгледаме и такива системи и ще се научим как да ги решаваме.
Защо разглеждаме само първата поръчка? Защото трябва да започнете с просто и да опишете всичко, свързано с диференциалауравнения, в една статия е просто невъзможно.
Уравнения с отделяеми променливи
Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат написани по следния начин: y'=f(x)f(y). За да решим това уравнение, се нуждаем от формула за представяне на производната като съотношение на диференциали: y'=dy/dx. Използвайки го, получаваме следното уравнение: dy/dx=f(x)f(y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: ще разделим променливите на части, т.е. ще прехвърлим всичко с променливата y в частта, където се намира dy, и ще направим същото с променливата x. Получаваме уравнение от вида: dy/f(y)=f(x)dx, което се решава като се вземат интегралите от двете части. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след вземане на интеграла.
Решението на всяка "дифюрация" е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако има числово условие, тогава отговорът е под формата на число. Нека анализираме целия ход на решението, използвайки конкретен пример:
y'=2ysin(x)
Преместване на променливи в различни посоки:
dy/y=2sin(x)dx
Сега вземаме интеграли. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица на интегралите. И получаваме:
ln(y)=-2cos(x) + C
Ако е необходимо, можем да изразим "y" като функция на "x". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решено, ако не е дадено условие. Може да се даде условие, например, y(n/2)=e. След това просто заместваме стойността на тези променливи в решението инамерете стойността на константата. В нашия пример е равно на 1.
Хомогенни диференциални уравнения от първи ред
Сега към по-трудната част. Хомогенните диференциални уравнения от първи ред могат да се запишат в общ вид, както следва: y'=z(x, y). Трябва да се отбележи, че дясната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости: z от x и z от y. Проверката дали уравнението е хомогенно или не е съвсем проста: правим заместването x=kx и y=ky. Сега отменяме всички k. Ако всички тези букви бъдат намалени, тогава уравнението е хомогенно и можете спокойно да продължите към решаването му. Гледайки напред, нека кажем: принципът на решаването на тези примери също е много прост.
Трябва да направим заместване: y=t(x)x, където t е някаква функция, която също зависи от x. Тогава можем да изразим производната: y'=t'(x)x+t. Замествайки всичко това в нашето оригинално уравнение и го опростявайки, получаваме пример с отделими променливи t и x. Решаваме го и получаваме зависимостта t(x). Когато го получим, просто заместваме y=t(x)x в предишната ни замяна. Тогава получаваме зависимостта на y от x.
За да стане по-ясно, нека разгледаме пример: xy'=y-xey/x.
При проверка с подмяна всичко се намалява. Така че уравнението е наистина хомогенно. Сега правим друго заместване, за което говорихме: y=t(x)x и y'=t'(x)x+t(x). След опростяване получаваме следното уравнение: t'(x)x=-et. Решаваме получения пример с отделни променливи и получаваме: e-t=ln(Cx). Трябва само да заменим t с y/x (в края на краищата, ако y=tx, тогава t=y/x) и получавамеотговор: e-y/x=ln(xC).
Линейни диференциални уравнения от първи ред
Време е за друга голяма тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. С какво се различават от предишните две? Нека го разберем. Линейни диференциални уравнения от първи ред в общ вид могат да се запишат по следния начин: y' + g(x)y=z(x). Струва си да поясним, че z(x) и g(x) могат да бъдат константи.
А сега пример: y' - yx=x2.
Има два начина да го решим и ще се справим с двата по ред. Първият е методът за вариация на произволни константи.
За да решите уравнението по този начин, първо трябва да приравните дясната страна на нула и да решите полученото уравнение, което след преместване на частите ще приеме формата:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Сега трябва да заменим константата C1 с функцията v(x), която трябва да намерим.
y=vex2/2.
Нека променим производната:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
И заместете тези изрази в оригиналното уравнение:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Можете да видите, че два термина се отменят от лявата страна. Ако в някой пример това не се случи, значи сте направили нещо нередно. Продължете:
v'ex2/2 =x2.
Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да разделим променливите:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
За да извлечем интеграла, тук трябва да приложим интегриране по части. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете да научите как да извършвате такива действия сами. Не е трудно и с достатъчно умения и внимание не отнема много време.
Нека се обърнем към втория метод за решаване на нехомогенни уравнения: методът на Бернули. Кой подход е по-бърз и по-лесен, зависи от вас.
И така, когато решаваме уравнението по този метод, трябва да направим замяна: y=kn. Тук k и n са някои зависими от x функции. Тогава производната ще изглежда така: y'=k'n+kn'. Заменете двете замествания в уравнението:
k'n+kn'+xkn=x2.
Група:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Сега трябва да приравним към нула това, което е в скоби. Сега, ако комбинирате двете получени уравнения, получавате система от диференциални уравнения от първи ред, които трябва да решите:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Първото равенство се решава като нормално уравнение. За да направите това, трябва да разделите променливите:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Вземете интеграла и вземете: ln(n)=x2/2. Тогава, ако изразим n:
n=ex2/2.
Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:
k'ex2/2=x2.
И преобразувайки, получаваме същото равенство като при първия метод:
dk=x2/ex2/2.
Ние също няма да навлизаме в по-нататъшни стъпки. Струва си да се каже, че в началото решаването на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. Въпреки това, когато се потопите по-дълбоко в темата, тя започва да става все по-добра.
Къде се използват диференциални уравнения?
Диференциалните уравнения се използват много активно във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма, а формулите, които виждаме, са решението на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: от тях се извличат основни закони. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системи, като хищник-плячка. Те могат да се използват и за създаване на модели на възпроизвеждане на, да речем, колония от микроорганизми.
Как диференциалните уравнения ще помогнат в живота?
Отговорът на този въпрос е прост: няма начин. Ако не сте учен или инженер, тогава те едва ли ще ви бъдат полезни. За общото развитие обаче не пречи да знаете какво е диференциално уравнение и как се решава. И тогава въпросът на син или дъщеря "какво е диференциално уравнение?" няма да ви обърка. Е, ако сте учен или инженер, тогава вие сами разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да решим диференциално уравнение от първи ред?" винаги можеш да отговориш. Съгласете се, винаги е хубавокогато разбереш това, което хората дори се страхуват да разберат.
Основни проблеми с обучението
Основният проблем при разбирането на тази тема е лошото умение за интегриране и диференциране на функции. Ако сте лоши в вземането на производни и интеграли, тогава вероятно трябва да научите повече, да овладеете различни методи за интегриране и диференциране и едва след това да започнете да изучавате материала, описан в статията.
Някои хора са изненадани, когато разберат, че dx може да се прехвърли, защото по-рано (в училище) беше заявено, че дробът dy/dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производната и да разберете, че това е съотношението на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.
Мнозина не осъзнават веднага, че решението на диференциални уравнения от първи ред често е функция или интеграл, който не може да се вземе, и тази заблуда им създава много проблеми.
Какво друго може да се проучи за по-добро разбиране?
Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане със специализирани учебници, например по смятане за студенти от нематематически специалности. След това можете да преминете към по-специализирана литература.
Трябва да се каже, че освен диференциалните уравнения, има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате към какво да се стремите и какво да изучавате.
Заключение
Надяваме се, че след като прочететеТази статия ви даде представа какво представляват диференциалните уравнения и как да ги решавате правилно.
Във всеки случай математиката по някакъв начин ще ни бъде полезна в живота. Развива логиката и вниманието, без които всеки човек е като без ръце.
