Една от най-трудните и неразбираеми теми на университетската математика е интегрирането и диференциалното смятане. Трябва да познавате и разбирате тези понятия, както и да можете да ги прилагате. Много университетски технически дисциплини са обвързани с диференциали и интеграли.
Кратка информация за уравненията
Тези уравнения са едно от най-важните математически понятия в образователната система. Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независимите променливи, функцията, която трябва да се намери, и производните на тази функция с променливите, за които се приема, че са независими. Диференциалното смятане за намиране на функция на една променлива се нарича обикновено. Ако желаната функция зависи от няколко променливи, тогава се говори за частно диференциално уравнение.
Всъщност намирането на определен отговор на уравнението се свежда до интегриране, а методът на решението се определя от вида на уравнението.
Уравнения от първи ред
Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение, което може да опише променлива, желана функция и нейната първа производна. Такива уравнения могат да бъдат дадени в три форми: явна, имплицитна, диференциална.
Необходими концепции за решаване
Начално условие - задаване на стойността на желаната функция за дадена стойност на променлива, която е независима.
Решение на диференциално уравнение - всяка диференцируема функция, точно заместена в оригиналното уравнение, я превръща в идентично равна. Полученото решение, което не е изрично, е интеграл на уравнението.
Общото решение на диференциалните уравнения е функция y=y(x;C), която може да удовлетвори следните съждения:
- А функция може да има само една произволна константа С.
- Резултантната функция трябва да бъде решение на уравнението за произволни стойности на произволна константа.
- С дадено начално условие произволна константа може да бъде дефинирана по уникален начин, така че полученото конкретно решение да бъде в съответствие с даденото ранно начално условие.
На практика често се използва проблемът на Коши - намиране на решение, което е конкретно и може да се сравни с условието, зададено в началото.
Теоремата на Коши е теорема, която подчертава съществуването и уникалността на конкретно решение в диференциалното смятане.
Геометричен смисъл:
- Общо решение y=y(x;C)уравнението е общият брой на интегралните криви.
- Диференциалното смятане ви позволява да свържете координатите на точка в равнината XOY и допирателната, начертана към интегралната крива.
- Задаването на първоначалното условие означава задаване на точка в равнината.
- За да се реши задачата на Коши означава, че от целия набор от интегрални криви, представляващи едно и също решение на уравнението, е необходимо да се избере единствената, преминаваща през единствената възможна точка.
- Изпълнението на условията на теоремата на Коши в дадена точка означава, че интегрална крива (при това само една) задължително преминава през избраната точка в равнината.
Уравнение за отделяема променлива
По дефиниция диференциалното уравнение е уравнение, при което дясната му страна описва или се отразява като продукт (понякога съотношение) на две функции, едната зависи само от "x", а другата - само от "y" ". Ясен пример за този вид: y'=f1(x)f2(y).
За да решите уравнения от определен вид, първо трябва да трансформирате производната y'=dy/dx. След това, като манипулирате уравнението, трябва да го приведете до форма, в която можете да интегрирате двете части на уравнението. След необходимите трансформации интегрираме двете части и опростяваме резултата.
Хомогенни уравнения
По дефиниция диференциалното уравнение може да се нарече хомогенно, ако има следната форма: y'=g(y/x).
В този случай най-често се използва заместването y/x=t(x).
За да се решат такива уравнения, е необходимо да се сведе хомогенно уравнение до вид с отделими променливи. За да направите това, трябва да изпълните следните операции:
- Показване, изразяващо производната на оригиналната функция, от всяка оригинална функция като ново уравнение.
- Следващата стъпка е да трансформирате получената функция във формата f(x;y)=g(y/x). С по-прости думи, накарайте уравнението да съдържа само съотношението y/x и константите.
- Направете следната замяна: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Направеното заместване ще помогне за разделянето на променливите в уравнението, като постепенно го приведе до по-проста форма.
Линейни уравнения
Определението на такива уравнения е както следва: линейно диференциално уравнение е уравнение, където дясната му страна е изразена като линеен израз по отношение на първоначалната функция. Желаната функция в този случай: y'=a(x)y + b(x).
Нека префразираме определението по следния начин: всяко уравнение от 1-ви порядък ще стане линейно по своята форма, ако първоначалната функция и нейната производна са включени в уравнението от първа степен и не се умножават едно по друго. "Класическата форма" на линейно диференциално уравнение има следната структура: y' + P(x)y=Q(x).
Преди да се реши такова уравнение, то трябва да бъде преобразувано в "класическата форма". Следващата стъпка ще бъде изборът на метода за решение: метода на Бернули или метода на Лагранж.
Решаване на уравнението сизползвайки метода, въведен от Бернули, предполага заместване и редукция на линейно диференциално уравнение до две уравнения с отделни променливи спрямо функциите U(x) и V(x), които са дадени в оригиналния си вид.
Методът на Лагранж е да се намери общо решение на оригиналното уравнение.
- Необходимо е да се намери същото решение на хомогенното уравнение. След търсене имаме функцията y=y(x, C), където C е произволна константа.
- Търсим решение на оригиналното уравнение в същата форма, но разглеждаме C=C(x). Заместваме функцията y=y(x, C(x)) в оригиналното уравнение, намираме функцията C(x) и записваме решението на общото оригинално уравнение.
уравнение на Бернули
Уравнение на Бернули - ако дясната страна на изчислението приема формата f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, където k е всяка възможна рационална числова стойност, която не се приема като примерни случаи, когато k=0 и k=1.
Ако k=1, тогава изчислението става разделимо, а когато k=0, уравнението остава линейно.
Нека разгледаме общия случай на решаване на този тип уравнение. Имаме стандартното уравнение на Бернули. Тя трябва да бъде намалена до линейна, за това трябва да разделите уравнението на yk. След тази операция заменете z(x)=y1-k. След серия от трансформации, уравнението ще бъде сведено до линейно, най-често по метода на заместване z=UV.
Уравнения в общите диференциали
Определение. Уравнение със структурата P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 се нарича пълно уравнениедиференциали, ако е изпълнено следното условие (в това условие "d" е частичен диференциал): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Всички диференциални уравнения от първи ред, разгледани по-рано, могат да бъдат показани като диференциали.
Такива изчисления се решават по няколко начина. Но всички те започват с проверка на състоянието. Ако условието е изпълнено, тогава най-лявата област на уравнението е общият диференциал на все още неизвестната функция U(x;y). Тогава, в съответствие с уравнението, dU (x; y) ще бъде равно на нула и следователно същият интеграл от уравнението в общите диференциали ще бъде показан под формата U (x; y) u003d C. Следователно, решението на уравнението се свежда до намиране на функцията U (x; y).
Интегриращ фактор
Ако условието dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx не е изпълнено в уравнението, тогава уравнението няма вида, който разгледахме по-горе. Но понякога е възможно да се избере някаква функция M(x;y), когато се умножи, по която уравнението приема формата на уравнение в пълен "дифърс". Функцията M (x;y) се нарича интегриращ фактор.
Интегратор може да бъде намерен само когато стане функция само на една променлива.
