Диедрични ъгли на пирамидата и методът на тяхното изчисляване

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Типичните линейни параметри на всяка пирамида са дължините на страните на основата, височината, страничните ръбове и апотемите. Въпреки това има още една характеристика, която е свързана с отбелязаните параметри - това е двугранният ъгъл. Помислете в статията какво представлява и как да го намерите.

Пространствена фигурна пирамида

Всеки ученик има добра представа за това какво е заложено, когато чуе думата "пирамида". Може да се конструира геометрично, както следва: изберете определен многоъгълник, след това фиксирайте точка в пространството и я свържете към всеки ъгъл на многоъгълника. Получената триизмерна фигура ще бъде пирамида от произволен тип. Многоъгълникът, който го образува, се нарича основа, а точката, към която са свързани всичките му ъгли, е връх на фигурата. Фигурата по-долу схематично показва петоъгълна пирамида.

Вижда се, че повърхността му е образувана не само от петоъгълник, но и от пет триъгълника. Като цяло броят на тези триъгълници ще бъде равен на броястрани на многоъгълна основа.

Диедрични ъгли на фигурата

Когато геометричните проблеми се разглеждат в равнина, всеки ъгъл се формира от две пресичащи се прави линии или сегменти. В пространството към тези линейни ъгли се добавят двугранни ъгли, образувани от пресичането на две равнини.

Ако маркираната дефиниция на ъгъл в пространството се приложи към въпросната фигура, тогава можем да кажем, че има два вида двугранни ъгли:

• В основата на пирамидата. Оформя се от равнината на основата и някоя от страничните повърхности (триъгълник). Това означава, че основните ъгли на пирамидата са n, където n е броят на страните на многоъгълника.
• Между страните (триъгълници). Броят на тези двугранни ъгли също е n парчета.

Забележете, че първият тип разглеждани ъгли е изграден върху ръбовете на основата, вторият тип - върху страничните ръбове.

Как да изчислим ъглите на пирамида?

Линейният ъгъл на двугранния ъгъл е мярката за последния. Не е лесно да се изчисли, тъй като лицата на пирамидата, за разлика от лицата на призмата, не се пресичат под прав ъгъл в общия случай. Най-надеждно е да се изчислят стойностите на диедричните ъгли, като се използват уравненията на равнината в общ вид.

В триизмерно пространство равнината се дава от следния израз:

Ax + By + Cz + D=0

Където A, B, C, D са някои реални числа. Удобството на това уравнение е, че първите три маркирани числа са координатите на вектора,която е перпендикулярна на дадената равнина, т.е.:

n¯=[A; B; C

Ако координатите на три точки, принадлежащи на равнината, са известни, тогава като се вземе векторното произведение на два вектора, построени върху тези точки, може да се получат координатите n¯. Векторът n¯ се нарича водач за равнината.

Съгласно дефиницията, двугранният ъгъл, образуван от пресичането на две равнини, е равен на линейния ъгъл между техните вектори на посоката. Да предположим, че имаме две равнини, чиито нормални вектори са равни:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂

За да изчислите ъгъла φ между тях, можете да използвате свойството на скаларния продукт, тогава съответната формула става:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Или в координатна форма:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Нека покажем как да използваме горния метод за изчисляване на диедрични ъгли при решаване на геометрични задачи.

Ъгли на правилна четириъгълна пирамида

Да приемем, че има правилна пирамида, в основата на която има квадрат със страна 10 см. Височината на фигурата е12 см. Необходимо е да се изчисли какви са двугранните ъгли в основата на пирамидата и за нейните страни.

Тъй като фигурата, дадена в условието на задачата, е правилна, тоест има висока симетрия, тогава всички ъгли в основата са равни един на друг. Ъглите, образувани от страничните повърхности, също са еднакви. За да изчислим необходимите двугранни ъгли, намираме векторите на посоката за основата и две странични равнини. Означете дължината на страната на основата с буквата a и височината h.

На снимката по-горе е показана четириъгълна правилна пирамида. Нека напишем координатите на точки A, B, C и D в съответствие с въведената координатна система:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Сега намираме векторите на посоката за базовите равнини ABC и двете страни ABD и BCD в съответствие с метода, описан в параграфа по-горе:

За ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

За ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

За BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Сега остава да приложите подходящата формула за ъгъла φ и да замените стойностите на страната и височината от формулировката на проблема:

Ъгъл между ABC иABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2) + a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2) /4)))=67, 38^o

Ъгъл между ABD и BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a) 2^{/4)))=81, 49}o

Изчислихме стойностите на ъглите, които трябваше да се намерят според условието на задачата. Формулите, получени при решаването на задачата, могат да се използват за определяне на двустранните ъгли на четириъгълни правилни пирамиди с произволни стойности на a и h.

Ъгли на триъгълна правилна пирамида

Фигурата по-долу показва пирамида, чиято основа е правилен триъгълник. Известно е, че двугранният ъгъл между страните е прав. Необходимо е да се изчисли площта на основата, ако е известно, че височината на фигурата е 15 см.

Двугранен ъгъл, равен на 90^o, е обозначен като ABC на фигурата. Можете да решите проблема, като използвате горния метод, но в този случай ние ще го направим по-лесно. Да означим страната на триъгълника a, височината на фигурата - h, апотемата - h_b и странатаребро - б. Сега можете да напишете следните формули:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Тъй като двата странични триъгълника в пирамидата са еднакви, страните AB и CB са равни и са катета на триъгълника ABC. Нека да обозначим тяхната дължина с x, след което:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Изравнявайки площите на страничните триъгълници и замествайки апотема в съответния израз, имаме:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Площта на равностранен триъгълник се изчислява, както следва:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Заместете стойността на височината от условието на задачата, получаваме отговора: S=584, 567 cm².