Изчисляването на обемите на пространствените фигури е една от важните задачи на стереометрията. В тази статия ще разгледаме въпроса за определяне на обема на такъв полиедър като пирамида, а също така ще дадем формулата за обема на правилна шестоъгълна пирамида.
шестоъгълна пирамида
Първо, нека да видим каква е цифрата, която ще бъде обсъдена в статията.
Нека имаме произволен шестоъгълник, чиито страни не са непременно равни една на друга. Да предположим също, че сме избрали точка от пространството, която не е в равнината на шестоъгълника. Свързвайки всички ъгли на последния с избраната точка, получаваме пирамида. Две различни пирамиди с шестоъгълна основа са показани на фигурата по-долу.
Вижда се, че освен шестоъгълника фигурата се състои от шест триъгълника, чиято точка на свързване се нарича връх. Разликата между изобразените пирамиди е, че височината h на дясната от тях не пресича шестоъгълната основа в геометричния й център, а височината на лявата фигура падаточно в този център. Благодарение на този критерий лявата пирамида беше наречена права, а дясната - наклонена.
Тъй като основата на лявата фигура на фигурата е образувана от шестоъгълник с равни страни и ъгли, тя се нарича правилна. По-нататък в статията ще говорим само за тази пирамида.
Обем на шестоъгълната пирамида
За изчисляване на обема на произволна пирамида е валидна следната формула:
V=1/3hSo
Тук h е дължината на височината на фигурата, So е площта на нейната основа. Нека използваме този израз, за да определим обема на правилна шестоъгълна пирамида.
Тъй като разглежданата фигура се основава на равностранен шестоъгълник, за да изчислите неговата площ, можете да използвате следния общ израз за n-ъгълник:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Тук n е цяло число, равно на броя на страните (ъглите) на многоъгълника, a е дължината на неговата страна, котангенсната функция се изчислява с помощта на съответните таблици.
Прилагайки израза за n=6, получаваме:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Сега остава да заместим този израз в общата формула за обем V:
V6=S6h=√3/2ha2
По този начин, за да се изчисли обемът на разглежданата пирамида, е необходимо да се знаят нейните два линейни параметъра: дължината на страната на основата и височината на фигурата.
Пример за решаване на проблеми
Нека покажем как полученият израз за V6 може да се използва за решаване на следния проблем.
Известно е, че обемът на правилната шестоъгълна пирамида е 100 cm3. Необходимо е да се определи страната на основата и височината на фигурата, ако е известно, че те са свързани помежду си със следното равенство:
a=2h
Тъй като само a и h са включени във формулата за обем, всеки от тези параметри може да бъде заместен в нея, изразен чрез другия. Например, заместете a, получаваме:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
За да намерите стойността на височината на фигура, трябва да вземете корена на третата степен от обема, който съответства на размерността на дължината. Заместваме стойността на обема V6 на пирамидата от формулировката на проблема, получаваме височината:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Тъй като страната на основата, в съответствие с условието на задачата, е два пъти по-голяма от намерената стойност, получаваме стойността за нея:
a=2h=23, 0676=6, 1352 см
Обемът на шестоъгълна пирамида може да се намери не само чрез височината на фигурата и стойността на страната на нейната основа. Достатъчно е да знаете два различни линейни параметъра на пирамидата, за да я изчислите, например апотемата и дължината на страничния ръб.
