Триъгълна пирамида и формули за определяне на нейната площ

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Пирамидата е геометрична пространствена фигура, чиито характеристики се изучават в гимназията в курса на твърда геометрия. В тази статия ще разгледаме триъгълна пирамида, нейните видове, както и формули за изчисляване на нейната повърхност.

За коя пирамида говорим?

Триъгълна пирамида е фигура, която може да се получи чрез свързване на всички върхове на произволен триъгълник с една единствена точка, която не лежи в равнината на този триъгълник. Според това определение разглежданата пирамида трябва да се състои от начален триъгълник, който се нарича основа на фигурата, и три странични триъгълника, които имат една обща страна с основата и са свързани един с друг в точка. Последното се нарича върха на пирамидата.

На снимката по-горе е показана произволна триъгълна пирамида.

Разглежданата фигура може да бъде наклонена или права. В последния случай перпендикулярът, спуснат от върха на пирамидата към основата й, трябва да я пресича в геометричния център. геометричният център на който и да етриъгълник е пресечната точка на неговите медиани. Геометричният център съвпада с центъра на масата на фигурата във физиката.

Ако правилен (равностранен) триъгълник лежи в основата на права пирамида, тогава той се нарича правилен триъгълен. В правилната пирамида всички страни са равни една на друга и са равностранни триъгълници.

Ако височината на правилна пирамида е такава, че страничните й триъгълници стават равностранни, тогава тя се нарича тетраедър. В тетраедъра и четирите лица са равни една на друга, така че всяка от тях може да се счита за основа.

Пирамидални елементи

Тези елементи включват лицата или страните на фигура, нейните ръбове, върхове, височина и апотеми.

Както е показано, всички страни на триъгълна пирамида са триъгълници. Техният брой е 4 (3 странични и един в основата).

Върховете са пресечните точки на трите триъгълни страни. Не е трудно да се отгатне, че за разглежданата пирамида има 4 от тях (3 принадлежат на основата и 1 на върха на пирамидата).

Ръбовете могат да се дефинират като линии, които пресичат две триъгълни страни, или като линии, които свързват всеки два върха. Броят на ръбовете съответства на удвоения брой основни върхове, тоест за триъгълна пирамида е 6 (3 ръба принадлежат на основата и 3 ръба се образуват от страничните лица).

Височината, както бе отбелязано по-горе, е дължината на перпендикуляра, изтеглен от върха на пирамидата до нейната основа. Ако начертаем височини от този връх към всяка страна на триъгълната основа,тогава те ще бъдат наречени апотеми (или апотеми). Така триъгълната пирамида има една височина и три апотема. Последните са равни една на друга за правилна пирамида.

Основата на пирамидата и нейната площ

Тъй като основата на разглежданата фигура обикновено е триъгълник, за да се изчисли неговата площ е достатъчно да се намери височината му h_o и дължината на страната на основата а, върху която се спуска. Формулата за площта S_o на основата е:

S_o=1/2h_oa

Ако триъгълникът на основата е равностранен, тогава площта на основата на триъгълната пирамида се изчислява по следната формула:

S_o=√3/4a²

Тоест, площта S_o се определя уникално от дължината на страната a на триъгълната основа.

Страна и обща площ на фигурата

Преди да разгледаме площта на триъгълна пирамида, е полезно да се покаже нейното развитие. Тя е на снимката по-долу.

Площта на този размах, образуван от четири триъгълника, е общата площ на пирамидата. Един от триъгълниците съответства на основата, формулата за разглежданата стойност на която е написана по-горе. Три странични триъгълни лица заедно образуват страничната област на фигурата. Следователно, за да определите тази стойност, е достатъчно да приложите горната формула за произволен триъгълник към всеки от тях и след това да добавите трите резултата.

Ако пирамидата е правилна, тогава изчислениетостраничната повърхност е улеснена, тъй като всички странични лица са еднакви равностранни триъгълници. Означете h_bдължината на апотема, тогава площта на страничната повърхност S_b може да се определи по следния начин:

S_b=3/2ah_b

Тази формула следва от общия израз за площта на триъгълник. Числото 3 се появи в числителите поради факта, че пирамидата има три странични лица.

Апотема h_b в правилна пирамида може да се изчисли, ако височината на фигурата h е известна. Прилагайки теоремата на Питагор, получаваме:

h_b=√(h²+ a²/12)

Очевидно, общата площ S на повърхността на фигурата е равна на сумата от нейните странична и основна площ:

S=S_o+ S_b

За обикновена пирамида, замествайки всички известни стойности, получаваме формулата:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Площта на триъгълна пирамида зависи само от дължината на страната на основата и от височината.

Примерен проблем

Известно е, че страничният ръб на триъгълна пирамида е 7 см, а страната на основата е 5 см. Трябва да намерите повърхността на фигурата, ако знаете, че пирамидата е редовен.

Използвайте общо равенство:

S=S_o+ S_b

Площ S_o е равно на:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 см}2.

За да определите страничната повърхност, трябва да намерите апотемата. Не е трудно да се покаже, че през дължината на страничния ръб a_b се определя по формулата:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Тогава площта на S_b е:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 см2.

Общата площ на пирамидата е:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 см².

Забележете, че при решаването на проблема не използвахме стойността на височината на пирамидата в изчисленията.