Триъгълникът е една от най-често срещаните геометрични фигури, с които вече сме запознати в началното училище. Въпросът как да се намери площта на триъгълник е изправен пред всеки ученик в уроците по геометрия. И така, какви са характеристиките на намирането на площта на дадена фигура? В тази статия ще разгледаме основните формули, необходими за изпълнение на такава задача, както и ще анализираме видовете триъгълници.
Видове триъгълници
Можете да намерите площта на триъгълник по напълно различни начини, защото в геометрията има повече от един тип фигури, съдържащи три ъгъла. Тези видове включват:
- Остър триъгълник.
- Под ъгъл.
- равностранно (правилно).
- Прасен триъгълник.
- равнобедрен.
Нека разгледаме по-отблизо всеки от съществуващите видове триъгълници.
Остъртриъгълник
Такава геометрична фигура се счита за най-често срещаната при решаването на геометрични задачи. Когато се наложи да нарисувате произволен триъгълник, тази опция идва на помощ.
В остър триъгълник, както подсказва името, всички ъгли са остри и сумират до 180°.
Триъгълник с ъгъл под ъгъл
Този триъгълник също е много често срещан, но е малко по-рядък от този с остър ъгъл. Например, когато решавате триъгълници (тоест знаете няколко от неговите страни и ъгли и трябва да намерите останалите елементи), понякога трябва да определите дали ъгълът е тъп или не. Косинусът на тъп ъгъл е отрицателно число.
В тъп триъгълник стойността на един от ъглите надвишава 90°, така че останалите два ъгъла могат да приемат малки стойности (например 15° или дори 3°).
За да намерите площта на триъгълник от този тип, трябва да знаете някои нюанси, за които ще говорим по-късно.
Правилни и равнобедрени триъгълници
Регулярен многоъгълник е фигура, която включва n ъгли и всички страни и ъгли са равни. Това е правоъгълният триъгълник. Тъй като сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°, всеки от трите ъгъла е 60°.
Правилен триъгълник, поради своето свойство, се нарича още равностранна фигура.
Заслужава си да се отбележи, че вправилен триъгълник може да бъде вписан само с една окръжност и само една окръжност може да бъде описана около него, а центровете им са разположени в една точка.
Освен равностранен тип, може да се избере и равнобедрен триъгълник, който леко се различава от него. В такъв триъгълник две страни и два ъгъла са равни една на друга, а третата страна (към която граничат равни ъгли) е основата.
Фигурата показва равнобедрен триъгълник DEF, чиито ъгли D и F са равни, а DF е основата.
Прасен триъгълник
Правоъгълен триъгълник е наречен така, защото един от неговите ъгли е прав ъгъл, тоест равен на 90°. Сумата на другите два ъгъла е 90°.
Най-голямата страна на такъв триъгълник, лежаща срещу ъгъла от 90°, е хипотенузата, докато другите две от страните му са катетите. За този тип триъгълници е приложима питагоровата теорема:
Сборът от квадратите на дължините на катетите е равен на квадрата на дължината на хипотенузата.
Фигурата показва правоъгълен триъгълник BAC с хипотенуза AC и катети AB и BC.
За да намерите площта на триъгълник с прав ъгъл, трябва да знаете числовите стойности на неговите крака.
Нека да преминем към формулите за намиране на площта на тази фигура.
Формули за основни площи
В геометрията има две формули, които са подходящи за намиране на площта на повечето видове триъгълници, а именно за остър ъгъл, тъп ъгъл, правилен иравнобедрени триъгълници. Нека анализираме всеки един от тях.
Отстрани и височина
Тази формула е универсална за намиране на площта на фигурата, която разглеждаме. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на страната и дължината на изтеглената към нея височина. Самата формула (половината от произведението на основата и височината) изглежда така:
S=½AH, където A е страната на дадения триъгълник, а H е височината на триъгълника.
Например, за да намерите площта на триъгълник с остър ъгъл ACB, трябва да умножите неговата страна AB по височината CD и да разделите получената стойност на две.
Въпреки това, не винаги е лесно да се намери площта на триъгълник по този начин. Например, за да използвате тази формула за триъгълник с тъп ъгъл, трябва да продължите една от неговите страни и едва след това да начертаете височина към нея.
На практика тази формула се използва по-често от другите.
От две страни и ъгъл
Тази формула, както и предишната, е подходяща за повечето триъгълници и по смисъла си е следствие от формулата за намиране на площта по страната и височината на триъгълника. Тоест, разглежданата формула може лесно да бъде извлечена от предишната. Нейната формулировка изглежда така:
S=½sinOAB, където A и B са страни на триъгълник, а O е ъгълът между страните A и B.
Припомнете си, че синусът на ъгъла може да се види в специална таблица, кръстена на изключителния съветски математик В. М. Брадис.
А сега да преминем към други формули,подходящ само за изключителни видове триъгълници.
Площ на правоъгълен триъгълник
В допълнение към универсалната формула, която включва необходимостта от начертаване на височина в триъгълник, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, може да бъде намерена от неговите крака.
По този начин площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, е половината от произведението на неговите крака, или:
S=½ab, където a и b са катетите на правоъгълен триъгълник.
Правилен триъгълник
Този тип геометрични фигури се различават по това, че неговата площ може да бъде намерена с определената стойност само на една от страните (тъй като всички страни на правилния триъгълник са равни). Така че, след като се срещнете със задачата "намерете площта на триъгълник, когато страните са равни", трябва да използвате следната формула:
S=A2√3 / 4, където A е страната на равностранен триъгълник.
Формула на херон
Последната опция за намиране на площта на триъгълник е формулата на Херон. За да го използвате, трябва да знаете дължините на трите страни на фигурата. Формулата на Херон изглежда така:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), където a, b и c са страните на този триъгълник.
Понякога се дава задачата: "площта на правилен триъгълник - намерете дължината на неговата страна." В този случай трябва да използвате вече известната формула за намиране на площта на правилен триъгълник и да извлечете стойността на страната (или нейния квадрат) от нея:
A2=4S / √3.
Изпитни проблеми
В задачите на GIAВ математиката има много формули. Освен това често е необходимо да се намери площта на триъгълник върху карирана хартия.
В този случай е най-удобно да начертаете височината до една от страните на фигурата, да определите дължината й по клетки и да използвате универсалната формула за намиране на площта:
S=½AH.
Така че, след като изучавате формулите, представени в статията, няма да имате проблеми с намирането на площта на триъгълник от всякакъв вид.
