Триъгълникът е най-простата фигура, затворена в равнината, състояща се само от три взаимосвързани сегмента. При задачи с геометрия често е необходимо да се определи площта на тази фигура. Какво трябва да знаете за това? В статията ще отговорим на въпроса как да намерим площта на триъгълник от три страни.
Обща формула
Всеки ученик знае, че площта на триъгълник се изчислява като произведение на дължината на която и да е от неговите страни - a на половината от височината - h, спусната до избраната страна. По-долу е съответната формула: S=ah/2.
Този израз може да се използва, ако са известни поне две страни и стойността на ъгъла между тях. В този случай височината h е лесно да се изчисли с помощта на тригонометрични функции, като синус. Но не всеки знае как да намери площта от трите страни на триъгълник.
Формула на херон
Тази формула е отговорът на въпроса кактри страни намират площта на триъгълника. Преди да го запишем, нека означим дължините на отсечките на произволна фигура като a, b и c. Формулата на Херон се записва, както следва: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Където p е полупериметърът на фигурата, т.е.: p=(a+b+c)/2.
Въпреки очевидната тромавост, горният израз за областта S е лесен за запомняне. За да направите това, първо трябва да изчислите полупериметъра на триъгълника, след това да извадите от него по една дължина на страната на фигурата, да умножите всички получени разлики и самия полупериметър. Накрая вземете корен квадратен от продукта.
Тази формула е кръстена на Херон от Александрия, който е живял в началото на нашата ера. Съвременната история смята, че именно този философ е първият приложил този израз, за да извърши съответните изчисления. Тази формула е публикувана в неговата Metrica, която датира от 60 г. сл. Хр. Обърнете внимание, че някои от произведенията на Архимед, който е живял два века по-рано от Херон, съдържат знаци, че гръцкият философ вече е знаел формулата. Освен това древните китайци също знаеха как да намерят площта на триъгълник, знаейки три страни.
Важно е да се отбележи, че проблемът може да бъде решен без да се знае съществуването на формулата на Херон. За да направите това, начертайте няколко височини в триъгълника и използвайте общата формула от предишния параграф, като съставите подходящата система от уравнения.
Изразът на Херон може да се използва за изчисляване на площите на произволни многоъгълници, след като ги разделите натриъгълници и изчисляване на дължините на получените диагонали.
Пример за решаване на проблеми
Знаейки как да намерим площта на триъгълник от три страни, нека консолидираме знанията си, като решим следния проблем. Нека страните на фигурата са 5 см, 4 см и 3 см. Намерете площта.
Три страни на триъгълник са известни, така че можете да използвате формулата на Херон. Изчисляваме полупериметъра и необходимите разлики, имаме:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 см;
- p-b=2 см;
- p-c=3 см.
Тогава получаваме площта: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Триъгълникът, даден в условието на задачата, е правоъгълен, което е лесно да се провери, ако използвате питагоровата теорема. Тъй като площта на такъв триъгълник е половината от произведението на краката, получаваме: S=43/2=6 cm2.
Получената стойност е същата като за формулата на Херон, което потвърждава валидността на последната.
