За много хора математическият анализ е просто набор от неразбираеми числа, икони и дефиниции, които са далеч от реалния живот. Въпреки това, светът, в който съществуваме, е изграден върху числови модели, чието идентифициране помага не само да научим за света около нас и да решим неговите сложни проблеми, но и да опростим ежедневните практически задачи. Какво има предвид математикът, когато казва, че числова последователност се сближава? Това трябва да бъде обсъдено по-подробно.
Какво е безкрайно малко?
Нека си представим матрьошки, които се вписват една в друга. Техните размери, записани под формата на числа, като се започне от най-големия и завършва с най-малкия от тях, образуват последователност. Ако си представите безкраен брой такива ярки фигури, тогава полученият ред ще бъде фантастично дълъг. Това е конвергентна числова последователност. И тя клони към нула, тъй като размерът на всяка следваща кукла за гнездене, катастрофално намаляващ, постепенно се превръща в нищо. Така че е лесноможе да се обясни: какво е безкрайно малко.
Подобен пример би бил път, водещ в далечината. А визуалните размери на колата, която се отдалечава от наблюдателя по нея, постепенно се свиват, се превръщат в безформено петънце, наподобяващо точка. Така машината, като обект, отдалечаващ се в неизвестна посока, става безкрайно малка. Параметрите на посоченото тяло никога няма да са нула в буквалния смисъл на думата, но неизменно клонят към тази стойност в крайната граница. Следователно тази последователност се сближава отново до нула.
Изчислете всичко капка по капка
Нека си представим сега светска ситуация. Лекарят предписва на пациента да приема лекарството, започвайки с десет капки на ден и добавяйки по две всеки следващ ден. И така лекарят предложи да продължи, докато изтече съдържанието на флакона с лекарството, чийто обем е 190 капки. От гореизложеното следва, че броят на такива, насрочени по ден, ще бъде следната числова серия: 10, 12, 14 и т.н.
Как да разберете времето за завършване на целия курс и броя на членовете на поредицата? Тук, разбира се, може да се броят капките по примитивен начин. Но е много по-лесно, като се има предвид модела, да се използва формулата за сумата от аритметична прогресия със стъпка d=2. И използвайки този метод, разберете, че броят на членовете на числовия ред е 10. В този случай, a10=28. Номерът на пениса показва броя на дните на прием на лекарството, а 28 съответства на броя на капките, които пациентът трябваизползвайте в последния ден. Сближава ли се тази последователност? Не, защото въпреки факта, че е ограничен до 10 отдолу и 28 отгоре, такава серия от числа няма ограничение, за разлика от предишните примери.
Каква е разликата?
Нека сега да се опитаме да изясним: кога числовият ред се оказва сходяща последователност. Дефиниция от този вид, както може да се заключи от горното, е пряко свързана с понятието за краен предел, чието присъствие разкрива същността на въпроса. И така, каква е основната разлика между дадените по-рано примери? И защо в последния от тях числото 28 не може да се счита за граница на числовия ред X =10 + 2(n-1)?
За да изясните този въпрос, разгледайте друга последователност, дадена от формулата по-долу, където n принадлежи на набора от естествени числа.
Тази общност от членове е набор от обикновени дроби, числителят на които е 1, а знаменателят непрекъснато се увеличава: 1, ½ …
Освен това, всеки следващ представител на тази серия се приближава все повече до 0 по отношение на местоположението на числовата права. А това означава, че се появява такъв квартал, където точките се групират около нулата, което е границата. И колкото по-близо са те до него, толкова по-плътна става концентрацията им върху числовата права. А разстоянието между тях се намалява катастрофално, превръщайки се в безкрайно малко. Това е знак, че последователността се сближава.
ПодобенТака многоцветните правоъгълници, показани на фигурата, когато се отдалечават в пространството, са визуално по-претъпкани, като в хипотетичния предел се превръщат в нищожни.
Безкрайно големи поредици
След като анализирахме дефиницията на конвергентна последователност, нека да преминем към контрапримери. Много от тях са познати на човека от древни времена. Най-простите варианти на дивергентни поредици са редовете от естествени и четни числа. Те се наричат безкрайно големи по различен начин, тъй като членовете им, непрекъснато нарастващи, все повече се доближават до положителната безкрайност.
Пример за такъв може също да бъде всяка от аритметичните и геометричните прогресии със стъпка и знаменател, съответно, по-големи от нула. Освен това числовите редове се считат за различни поредици, които изобщо нямат ограничение. Например, X =(-2) -1.
последователност на Фибоначи
Практическите ползи от споменатата по-горе серия от числа за човечеството са неоспорими. Но има безброй други страхотни примери. Една от тях е последователността на Фибоначи. Всеки от неговите членове, които започват с един, е сбор от предишните. Първите му двама представители са 1 и 1. Третият 1+1=2, четвъртият 1+2=3, петият 2+3=5. Освен това, според същата логика, следват числата 8, 13, 21 и така нататък.
Тази серия от числа се увеличава безкрайно и нямакрайна граница. Но има още едно прекрасно свойство. Съотношението на всяко предишно число към следващото става все по-близо и по-близо в стойността си до 0,618 Тук можете да разберете разликата между конвергентна и дивергентна последователност, защото ако направите серия от получени частични деления, посочената числова система ще имат краен лимит, равен на 0,618.
Последователност от съотношения на Фибоначи
Посочената по-горе серия от числа се използва широко за практически цели за техническия анализ на пазарите. Но това не се ограничава до неговите възможности, които египтяните и гърците са знаели и са успели да приложат на практика в древни времена. Това се доказва от построените от тях пирамиди и Партенона. В крайна сметка числото 0,618 е постоянен коефициент на златното сечение, добре познат в старите времена. Съгласно това правило всеки произволен сегмент може да бъде разделен така, че съотношението между неговите части да съвпада със съотношението между най-големия от сегментите и общата дължина.
Нека построим серия от посочените отношения и се опитаме да анализираме тази последователност. Числовите серии ще бъдат както следва: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 и така нататък. Продължавайки по този начин, можем да се уверим, че границата на конвергентната последователност наистина ще бъде 0,618. Необходимо е обаче да се отбележат други свойства на тази закономерност. Тук числата изглежда вървят на случаен принцип и изобщо не във възходящ или низходящ ред. Това означава, че тази конвергентна последователност не е монотонна. Защо това е така, ще бъде обсъдено допълнително.
Монотонност и ограничение
Членовете от серия от числа могат ясно да намаляват с увеличаване на броя (ако x1>x2>x3>…>x >…) или увеличаване (ако x1<x263226323<…<x <…). В този случай се казва, че последователността е строго монотонна. Могат да се наблюдават и други модели, при които числовият ред ще бъде ненамаляващ и ненарастващ (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… или x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), тогава последователно конвергентното също е монотонно, само че не в стриктния смисъл. Добър пример за първата от тези опции е числовият ред, даден от следната формула.
След като нарисувате числата на тази серия, можете да видите, че всеки от нейните членове, приближаващи се за неопределено време към 1, никога няма да надхвърли тази стойност. В този случай се казва, че конвергентната последователност е ограничена. Това се случва винаги, когато има такова положително число M, което винаги е по-голямо от което и да е от членовете на реда по модул. Ако редица от числа има признаци на монотонност и има граница и следователно се сближава, тогава тя непременно е надарена с такова свойство. И обратното не трябва да е вярно. Това се доказва от теоремата за ограничеността за сходяща последователност.
Прилагането на подобни наблюдения на практика е много полезно. Нека дадем конкретен пример, като разгледаме свойствата на последователността X =n/n+1 и докаже неговата сходимост. Лесно е да се покаже, че е монотонно, тъй като (x +1 – x) е положително число за произволни n стойности. Границата на последователността е равна на числото 1, което означава, че всички условия на горната теорема, наричана още теорема на Вайерщрас, са изпълнени. Теоремата за ограничеността на конвергентна последователност гласи, че ако тя има граница, то във всеки случай тя се оказва ограничена. Нека обаче вземем следния пример. Числовият ред X =(-1) е ограничен отдолу с -1 и отгоре с 1. Но тази последователност не е монотонна, няма граница и следователно не се сближава. Тоест съществуването на граница и конвергенция не винаги следва от ограничението. За да работи това, долната и горната граница трябва да съвпадат, както в случая на съотношенията на Фибоначи.
Числа и закони на Вселената
Най-простите варианти на конвергентна и дивергентна последователност са може би числовият ред X =n и X =1/n. Първият от тях е естествен ред от числа. Както вече споменахме, той е безкрайно голям. Втората конвергентна последователност е ограничена и нейните членове са близки до безкрайно малки по величина. Всяка от тези формули олицетворява една от страните на многостранната Вселена, като помага на човек да си представи и изчисли нещо непознаваемо, недостъпно за ограничено възприятие на езика на числата и знаците.
Законите на Вселената, вариращи от незначителни до невероятно големи, също изразяват златното съотношение от 0,618. Учените вярват, че тя е основата на същността на нещата и се използва от природата за формиране на нейните части. Отношенията между следващите и предишните членове на редицата на Фибоначи, които вече споменахме, не завършват демонстрацията на удивителните свойства на тази уникална серия. Ако вземем предвид частното от разделянето на предишния член на следващия през едно, тогава получаваме серия от 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 и така нататък. Интересно е, че тази ограничена последователност се сближава, не е монотонна, но съотношението на съседните числа, крайни от даден член, винаги е приблизително равно на 0,382, което може да се използва и в архитектурата, технически анализ и други индустрии.
Има и други интересни коефициенти от редицата на Фибоначи, всички те играят специална роля в природата и също се използват от човека за практически цели. Математиците са сигурни, че Вселената се развива според определена "златна спирала", образувана от посочените коефициенти. С тяхна помощ е възможно да се изчислят много явления, случващи се на Земята и в космоса, от нарастването на броя на определени бактерии до движението на далечни комети. Както се оказва, ДНК кодът се подчинява на подобни закони.
Намаляваща геометрична прогресия
Има теорема, която потвърждава уникалността на границата на конвергентна последователност. Това означава, че той не може да има две или повече граници, което несъмнено е важно за намирането на неговите математически характеристики.
Нека разгледаме някоислучаи. Всеки числов ред, съставен от членове на аритметична прогресия, е дивергентен, с изключение на случая с нулева стъпка. Същото важи и за геометрична прогресия, чийто знаменател е по-голям от 1. Границите на такива числови редове са „плюс“или „минус“на безкрайността. Ако знаменателят е по-малък от -1, тогава изобщо няма ограничение. Възможни са и други опции.
Разгледайте числовия ред, даден от формулата X =(1/4) -1. На пръв поглед е лесно да се види, че тази конвергентна последователност е ограничена, тъй като тя е строго намаляваща и по никакъв начин не може да приема отрицателни стойности.
Нека напишем редица членове в ред.
Ще се окаже: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 и така нататък. Достатъчни са съвсем прости изчисления, за да се разбере колко бързо тази геометрична прогресия намалява от знаменателите 0<q<1. Докато знаменателят на членовете се увеличава безкрайно, самите те стават безкрайно малки. Това означава, че границата на числовия ред е 0. Този пример още веднъж демонстрира ограничената природа на конвергентната последователност.
Фундаментални последователности
Огюстин Луи Коши, френски учен, разкри на света много трудове, свързани с математическия анализ. Той даде определения на такива понятия като диференциал, интеграл, граница и непрекъснатост. Той също така изучава основните свойства на конвергентните последователности. За да разбере същността на неговите идеи,някои важни подробности трябва да бъдат обобщени.
В самото начало на статията беше показано, че има такива поредици, за които има квартал, в който точките, представляващи членовете на определена серия на реалната линия, започват да се групират, подреждайки се все повече и повече плътно. В същото време разстоянието между тях намалява с увеличаване на броя на следващия представител, превръщайки се в безкрайно малък. Така се оказва, че в дадена махала са групирани безкраен брой представители на дадена серия, докато извън нея има краен брой от тях. Такива последователности се наричат фундаментални.
Прочутият критерий на Коши, създаден от френски математик, ясно показва, че наличието на такова свойство е достатъчно, за да докаже, че последователността се сближава. Обратното също е вярно.
Трябва да се отбележи, че това заключение на френския математик представлява предимно чисто теоретичен интерес. Прилагането му на практика се счита за доста сложен въпрос, следователно, за да се изясни сходимостта на редовете, е много по-важно да се докаже съществуването на краен предел за последователност. В противен случай се счита за дивергентен.
При решаване на задачи трябва да се вземат предвид и основните свойства на конвергентните поредици. Те са показани по-долу.
Безкрайни суми
Такива известни учени от древността като Архимед, Евклид, Евдокс са използвали сумите от безкрайни числа за изчисляване на дължините на кривите, обемите на телатаи площи на фигурите. По-специално, по този начин беше възможно да се установи площта на параболичния сегмент. За това е използвана сумата от числовия ред на геометрична прогресия с q=1/4. По подобен начин бяха намерени обемите и площите на други произволни фигури. Тази опция беше наречена метод на "изчерпване". Идеята била изследваното тяло със сложна форма да бъде разбито на части, които представлявали фигури с лесно измерими параметри. Поради тази причина не беше трудно да се изчислят техните площи и обеми и след това те се сумират.
Между другото, подобни задачи са много познати на съвременните ученици и се намират в задачите USE. Уникалният метод, открит от далечни предци, е най-простото решение. Дори ако има само две или три части, на които числовата фигура е разделена, добавянето на техните области все още е сумата от числовия ред.
Много по-късно от древногръцките учени Лайбниц и Нютон, въз основа на опита на своите мъдри предшественици, научиха моделите на интегралното изчисление. Познаването на свойствата на последователностите им помогна да решават диференциални и алгебрични уравнения. В момента теорията на сериите, създадена с усилията на много поколения талантливи учени, дава шанс за решаване на огромен брой математически и практически проблеми. А изучаването на числови поредици е основният проблем, решен от математическия анализ от самото му начало.
