В училищния курс по геометрия се отделя огромно количество време за изучаване на триъгълници. Учениците изчисляват ъгли, изграждат ъгли и височини, установяват как фигурите се различават една от друга и най-лесният начин да намерят тяхната площ и периметър. Изглежда, че това не е полезно по никакъв начин в живота, но понякога все пак е полезно да знаете, например, как да определите, че триъгълникът е равностранен или тъп. Как да го направя?
Видове триъгълници
Три точки, които не лежат на една и съща права линия, и отсечките, които ги свързват. Изглежда, че тази фигура е най-простата. Как могат да изглеждат триъгълниците, ако имат само три страни? Всъщност има доста голям брой опции и на някои от тях се отделя специално внимание като част от училищния курс по геометрия. Равностранният триъгълник е равностранен, тоест всичките му ъгли и страни са равни. Той има редица забележителни свойства, които ще бъдат обсъдени по-късно.
Равнобедреното има само две равни страни и също е доста интересно. При правоъгълни и тъпоъгълни триъгълници, както може да се досетите, съответно един от ъглите е прав или тъп. Втова те също могат да бъдат равнобедрени.
Има и специален вид триъгълник, наречен египетски. Страните му са 3, 4 и 5 единици. Той обаче е правоъгълен. Смята се, че такъв триъгълник е бил активно използван от египетските геодезисти и архитекти за изграждане на прави ъгли. Смята се, че известните пирамиди са построени с негова помощ.
И все пак всички върхове на триъгълник могат да лежат на една права линия. В този случай той ще се нарича дегенеративен, докато всички останали се наричат неизродени. Те са един от предметите на изучаване на геометрията.
Равностранен триъгълник
Разбира се, правилните цифри винаги са най-интересни. Изглеждат по-съвършени, по-изящни. Формулите за изчисляване на техните характеристики често са по-прости и по-кратки, отколкото за обикновените фигури. Това важи и за триъгълниците. Не е изненадващо, че им се обръща много внимание при изучаване на геометрия: учениците се научават да различават правилните фигури от останалите, а също така говорят за някои от техните интересни характеристики.
Знаци и свойства
Както може да се досетите от името, всяка страна на равностранен триъгълник е равна на другите две. В допълнение, той има редица функции, благодарение на които е възможно да се определи дали фигурата е правилна или не.
- всичките му ъгли са равни, стойността им е 60 градуса;
- бисектриси, височини и медиани, изтеглени от всеки връх, са еднакви;
- правилният триъгълник има 3 оси на симетрияне се променя при завъртане на 120 градуса.
- центърът на вписаната окръжност е също центърът на описаната окръжност и точката на пресичане на медианите, ъглополовящите, височините и перпендикулярните ъглополовящи.
Ако се наблюдава поне един от горните знаци, тогава триъгълникът е равностранен. За обикновена цифра всички горни твърдения са верни.
Всички триъгълници имат редица забележителни свойства. Първо, средната линия, тоест отсечката, разделяща двете страни наполовина и успоредна на третата, е равна на половината от основата. Второ, сумата от всички ъгли на тази фигура винаги е равна на 180 градуса. Освен това има още една интересна връзка в триъгълниците. И така, срещу по-голямата страна лежи по-голям ъгъл и обратно. Но това, разбира се, няма нищо общо с равностранен триъгълник, защото всичките му ъгли са равни.
Вписани и описани кръгове
Не е необичайно студентите в курс по геометрия също да научат как фигурите могат да взаимодействат помежду си. По-специално се изучават кръгове, вписани в многоъгълници или описани около тях. За какво става дума?
Вписаната окръжност е кръг, за който всички страни на многоъгълника са допирателни. Описан - този, който има допирни точки с всички ъгли. За всеки триъгълник винаги е възможно да се построят както първия, така и вторият кръг, но само по един от всеки тип. Доказателство за тези двама
теореми са дадениучилищен курс по геометрия.
В допълнение към изчисляването на параметрите на самите триъгълници, някои задачи включват и изчисляване на радиусите на тези окръжности. И формулите за равностранния триъгълник изглеждат така:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
където r е радиусът на вписаната окръжност, R е радиусът на описаната окръжност, a е дължината на страната на триъгълника.
Изчисляване на височина, периметър и площ
Основните параметри, които се изчисляват от учениците при изучаване на геометрия, остават непроменени за почти всяка фигура. Това са периметърът, площта и височината. За по-лесно изчисление има различни формули.
И така, периметърът, тоест дължината на всички страни, се изчислява по следните начини:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, където a е страната на правилен триъгълник, R е радиусът на описаната окръжност, r е вписаната окръжност.
Височина:
h=(√ ̅3/2)a, където a е дължината на страната.
Накрая, формулата за площта на равностранен триъгълник се извлича от стандартната формула, тоест произведението на половината от основата и нейната височина.
S=(√ ̅3/4)a2, където a е дължината на страната.
Също така, тази стойност може да бъде изчислена чрез параметрите на описаната или вписана окръжност. Има и специални формули за това:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, където r и R са съответно радиуси вписани и описани окръжности.
Сграда
Още едноИнтересен тип задача, включително триъгълници, е свързана с необходимостта да се начертае една или друга фигура с помощта на минималния набор
инструменти: пергел и линийка без деления.
Необходими са няколко стъпки, за да се изгради правилен триъгълник само с тези инструменти.
- Трябва да начертаете окръжност с произволен радиус и центрирана в произволна точка A. Тя трябва да бъде маркирана.
- След това трябва да начертаете права линия през тази точка.
- Пресечните точки на окръжност и права линия трябва да бъдат обозначени като B и C. Всички конструкции трябва да се извършват с възможно най-голяма точност.
- След това трябва да построите друг кръг със същия радиус и център в точка C или дъга със съответните параметри. Пресечките ще бъдат маркирани като D и F.
- Точки B, F, D трябва да бъдат свързани чрез сегменти. Построен е равностранен триъгълник.
Решаването на подобни проблеми обикновено е проблем за учениците, но това умение може да бъде полезно в ежедневието.
