Парадоксът на Бертран е проблем в класическата интерпретация на теорията на вероятностите. Джоузеф го въвежда в своята работа Calcul des probabilités (1889) като пример, че вероятностите не могат да бъдат добре дефинирани, ако механизъм или метод произвежда случайна променлива.
Изявление на проблема
Парадоксът на Бертран е следният.
Първо, разгледайте равностранен триъгълник, вписан в кръг. В този случай диаметърът се избира произволно. Каква е вероятността тя да е по-дълга от страната на триъгълника?
Бертран направи три аргумента, всички от които изглеждат верни, но дават различни резултати.
Метод на произволна крайна точка
Трябва да изберете две места в кръга и да нарисувате дъга, която ги свързва. За изчислението се взема предвид вероятностният парадокс на Бертран. Необходимо е да си представим, че триъгълникът се завърта така, че върхът му да съвпада с една от крайните точки на хордата. Струва си да се платиимайте предвид, че ако другата част е на дъга между две места, кръгът е по-дълъг от страната на триъгълника. Дължината на дъгата е една трета от окръжността, така че вероятността произволен хорд да е по-дълъг е 1/3.
Метод на подбор
Необходимо е да изберете радиуса на окръжността и точка върху нея. След това трябва да изградите акорд през това място, перпендикулярно на диаметъра. За да се изчисли разглежданият парадокс на Бертран от теорията на вероятностите, трябва да си представим, че триъгълникът се завърта така, че страната да е перпендикулярна на радиуса. Хордата е по-дълга от крака, ако избраната точка е по-близо до центъра на кръга. И в този случай страната на триъгълника разполовява радиуса. Следователно, вероятността хордата да е по-дълга от страната на вписаната фигура е 1/2.
Случайни акорди
Метод на средната точка. Необходимо е да изберете място в кръга и да създадете акорд с дадена среда. Оста е по-дълга от ръба на вписания триъгълник, ако избраното място е в рамките на концентричен кръг с радиус 1/2. Площта на по-малкия кръг е една четвърт от по-голямата фигура. Следователно, вероятността за произволна хорда е по-дълга от страната на вписания триъгълник и е равна на 1/4.
Както е представено по-горе, методите за избор се различават по тежестта, която придават на определени акорди, които са диаметри. При метод 1 всеки акорд може да бъде избран точно по един начин, независимо дали е диаметър.
При метод 2 всяка права линия може да бъде избрана по два начина. Докато всеки друг акорд ще бъде избрансамо една от възможностите.
В метод 3, всеки избор на средна точка има един параметър. С изключение на центъра на кръга, който е средата на всички диаметри. Тези проблеми могат да бъдат избегнати чрез „подреждане“на всички въпроси за изключване на параметри, без да се засягат получените вероятности.
Избор на методи също може да се визуализира по следния начин. Хорда, която не е диаметър, се идентифицира уникално по средната си точка. Всеки от трите метода за подбор, представени по-горе, произвежда различно разпределение на средата. И опции 1 и 2 осигуряват две различни неравномерни дяла, докато метод 3 дава равномерно разпределение.
Класическият парадокс за решаване на проблема на Бертран зависи от метода, по който акордът е избран "на случаен принцип". Оказва се, че ако метод за произволна селекция е посочен предварително, проблемът има добре дефинирано решение. Това е така, защото всеки отделен метод има свое собствено разпределение на акорди. Трите решения, показани от Бертран, съответстват на различни начини на подбор и при липса на допълнителна информация няма причина да се предпочита едното пред другото. Съответно, посоченият проблем няма едно единствено решение.
Пример за това как да направите общ отговор уникален е да посочите, че крайните точки на хордата са равномерно разположени между 0 и c, където c е обиколката на окръжността. Това разпределение е същото като в първия аргумент на Бертран и получената уникална вероятност ще бъде 1/3.
Този парадокс на Бертран Ръсел и други уникалности на класикатаинтерпретациите на възможността оправдават по-строги формулировки. Включително вероятностна честота и субективистка байесова теория.
Какво е в основата на парадокса на Бертран
В статията си от 1973 г. „Добре поставеният проблем“Едуин Джейнс предлага своето уникално решение. Той отбеляза, че парадоксът на Бертран се основава на предпоставка, основана на принципа на "максималното невежество". Това означава, че не трябва да използвате информация, която не е предоставена в изявлението за проблема. Джейнс посочи, че проблемът на Бертран не определя позицията или размера на кръга. И твърди, че следователно всяко определено и обективно решение трябва да бъде „безразлично“към размера и позицията.
За илюстрация
Ако приемем, че всички акорди са поставени произволно в кръг от 2 см, сега трябва да хвърляте сламки към него отдалеч.
След това трябва да вземете друг кръг с по-малък диаметър (например 1 сантиметър), който се вписва в по-голяма фигура. Тогава разпределението на акордите върху този по-малък кръг трябва да бъде същото като на максималния. Ако втората фигура също се движи вътре в първата, вероятността по принцип не трябва да се променя. Много лесно е да се види, че за метод 3 ще настъпи следната промяна: разпределението на акордите в малкия червен кръг ще бъде качествено различно от разпределението на големия кръг.
Същото се случва и за метод 1. Въпреки че е по-трудно да се види в графичния изглед.
Метод 2 е единственияткоето се оказва едновременно скала и инвариант на превод.
Метод номер 3 изглежда е просто разширяем.
Метод 1 не е нито едното, нито другото.
Въпреки това, Джейнс не използва инвариантите лесно, за да приеме или отхвърли тези методи. Това би оставило възможността да има друг неописан метод, който да отговаря на неговите аспекти на разумно значение. Джейнс прилага интегрални уравнения, описващи инвариантности. За директно определяне на разпределението на вероятностите. В неговия проблем интегралните уравнения наистина имат уникално решение и точно това се наричаше втория метод на случаен радиус по-горе.
В документ от 2015 г. Алон Дрори твърди, че принципът на Джейнс може да доведе и до две други решения на Бертран. Авторът уверява, че математическата реализация на горните свойства на инвариантност не е уникална, а зависи от основната процедура на случаен подбор, която човек решава да използва. Той показва, че всяко от трите решения на Бертран може да бъде получено с помощта на ротационна, мащабираща и транслационна инвариантност. В същото време, като се заключи, че принципът на Джейн е също толкова обект на интерпретация, колкото и самият начин на безразличие.
Физически експерименти
Метод 2 е единственото решение, което удовлетворява трансформационните инварианти, които присъстват в специфични физиологични концепции като статистическа механика и газова структура. Също така в предложенатаЕкспериментът на Джейнс за хвърляне на сламки от малък кръг.
Въпреки това, други практически експерименти могат да бъдат проектирани, които дават отговори според други методи. Например, за да стигнете до решение на първия метод за произволна крайна точка, можете да прикачите брояч към центъра на областта. И нека резултатите от две независими завъртания подчертават крайните места на акорда. За да се стигне до решение на третия метод, човек може да покрие кръга с меласа например и да отбележи първата точка, върху която мухата каца като среден акорд. Няколко съзерцатели са създали проучвания, за да направят различни заключения и са потвърдили резултатите емпирично.
Последни събития
В статията си от 2007 г. „Парадоксът на Бертран и принципът на безразличието“Никълъс Шакъл твърди, че повече от век по-късно проблемът все още остава неразрешен. Тя продължава да опровергава принципа на безразличието. Освен това, в своя документ от 2013 г. „Парадоксът на Бертран Ръсел, преразгледан отново: защо всички решения не са практични“, Даръл Р. Роботъм показва, че всички предложени решения нямат нищо общо с неговия собствен въпрос. Така се оказа, че парадоксът ще бъде много по-труден за разрешаване, отколкото се смяташе преди.
Шакел подчертава, че досега много учени и хора, далеч от науката, са се опитвали да разрешат парадокса на Бертран. Все още се преодолява с помощта на два различни подхода.
Тези, при които се разглежда разликата между нееквивалентни проблеми и тези, при които проблемът винаги се смята за правилен. Шакел цитира Луис в книгите сиМариноф (като типичен изразител на стратегията за диференциация) и Едуин Джейнс (като автор на добре обмислена теория).
В скорошната си работа „Решаване на сложен проблем“Дидерик Аертс и Масимилиано Сасоли де Бианки смятат, че за да се разреши парадокса на Бертран, предпоставките трябва да се търсят в смесена стратегия. Според тези автори първата стъпка е да се реши проблемът, като се посочи ясно естеството на обекта, който се рандомизира. И едва след като това бъде направено, всеки проблем може да се счита за правилен. Това мисли Джейнс.
Така че принципът на максималното невежество може да се използва за разрешаването му. За тази цел и тъй като проблемът не уточнява как трябва да бъде избран акорд, принципът се прилага не на нивото на различните възможности, а на много по-дълбоко.
Избор на части
Тази част от проблема изисква изчисляване на мета-средно за всички възможни начини, което авторите наричат универсално средно. За да се справят с това, те използват метода на дискретизация. Вдъхновен от това, което се прави при дефинирането на закона за вероятността в процесите на Wiener. Техният резултат е в съответствие с числовото следствие на Jaynes, въпреки че техният добре поставен проблем се различава от този на оригиналния автор.
В икономиката и търговията парадоксът на Бертран, кръстен на своя създател Джоузеф Бертран, описва ситуация, в която двама играчи (фирми) достигат равновесие на Неш. Когато и двете фирми определят цена, равна на пределните разходи(MS).
Парадоксът на Бертран се основава на предпоставка. Той се крие във факта, че в модели като конкуренцията на Cournot увеличаването на броя на фирмите е свързано със сближаването на цените с пределните разходи. В тези алтернативни модели парадоксът на Бертран е в олигопол на малък брой фирми, които печелят положителни печалби, като начисляват цени над себестойността.
За начало си струва да приемем, че две фирми А и Б продават хомогенен продукт, всяка от които има еднаква цена на производство и дистрибуция. От това следва, че купувачите избират продукт единствено въз основа на цената. Това означава, че търсенето е безкрайно ценово еластично. Нито А, нито Б ще определят по-висока цена от останалите, защото това ще доведе до краха на целия парадокс на Бертран. Един от участниците на пазара ще отстъпи на своя конкурент. Ако определят една и съща цена, компаниите ще споделят печалбите.
От друга страна, ако някоя фирма понижи цената си дори леко, тя ще получи целия пазар и значително по-висока възвръщаемост. Тъй като А и Б знаят това, всеки от тях ще се опита да подкопае конкурента, докато продуктът не се продаде за нулева икономическа печалба.
Последната работа показа, че може да има допълнително равновесие в парадокса на смесената стратегия на Бертран, с положителни икономически печалби, при условие че сумата на монопола е безкрайна. За случая с крайната печалба беше показано, че положително увеличение при ценова конкуренция е невъзможно при смесени равновесия и дори в по-общия случайкорелирани системи.
Всъщност парадоксът на Бертран в икономиката рядко се наблюдава на практика, тъй като реалните продукти почти винаги се различават по начин, различен от цената (например, надплащане за етикет). Фирмите имат ограничения в способността си да произвеждат и разпространяват. Ето защо два бизнеса рядко имат еднакви разходи.
Резултатът на Бертран е парадоксален, защото ако броят на фирмите се увеличи от една на две, цената пада от монополна до конкурентна и остава на същото ниво като броя на фирмите, които се увеличават след това. Това не е много реалистично, защото в действителност пазарите с малко фирми с пазарна мощ са склонни да начисляват цени над пределните разходи. Емпиричният анализ показва, че повечето индустрии с двама конкуренти генерират положителни печалби.
В съвременния свят учените се опитват да намерят решения на парадокса, които са по-съвместими с модела на конкуренцията на Курно. Когато две фирми на пазара правят положителни печалби, които са някъде между идеално конкурентни и монополни нива.
Някои причини парадоксът на Бертран не е пряко свързан с икономиката:
- Ограничения на капацитета. Понякога фирмите не разполагат с достатъчен капацитет, за да отговорят на цялото търсене. Тази точка е повдигната за първи път от Франсис Еджуърт и поражда модела Bertrand-Edgeworth.
- Цели цени. Цените над MC са изключени, тъй като една фирма може да подбива друга на случаен принцип.малка сума. Ако цените са дискретни (например, те трябва да приемат цели числа), тогава една фирма трябва да подбива другата с поне една рубла. Това означава, че стойността на дребната валута е над MC. Ако друга фирма определи цената за нея по-висока, друга фирма може да я понижи и да завладее целия пазар, парадоксът на Бертран се състои именно в това. Няма да й донесе печалба. Този бизнес ще предпочете да споделя продажбите 50/50 с друга фирма и ще получи чисто положителни приходи.
- Продуктова диференциация. Ако продуктите на различни фирми се различават един от друг, тогава потребителите може да не преминат напълно към продукти с по-ниска цена.
- Динамична конкуренция. Повтарящото се взаимодействие или повтарящата се ценова конкуренция може да доведе до равновесие на стойността.
- Още артикули за по-висока сума. Това следва от многократно взаимодействие. Ако една компания определи цената си малко по-висока, тя пак ще получи приблизително същия брой покупки, но повече печалба на артикул. Следователно другата компания ще увеличи надценката си и т.н. (Само при повторения, в противен случай динамиката върви в друга посока).
Олигопол
Ако две компании могат да се споразумеят за цена, в техен дългосрочен интерес е да спазят споразумението: приходите от намаляване на стойността са по-малко от два пъти приходите от спазването на споразумението и продължават само докато другата фирма намали своята собствени цени.
Теориявероятностите (като останалата част от математиката) всъщност е скорошно изобретение. И развитието не е гладко. Първите опити за формализиране на изчислението на вероятностите бяха направени от маркиз дьо Лаплас, който предложи понятието да се дефинира като съотношението на броя на събитията, водещи до резултат.
Това, разбира се, има смисъл само ако броят на всички възможни събития е краен. И освен това всички събития са еднакво вероятни.
Така по онова време изглежда, че тези концепции нямат солидна основа. Опитите да се разшири дефиницията до случая на безкраен брой събития доведоха до още по-големи трудности. Парадоксът на Бертран е едно такова откритие, което накара математиците да се притесняват от цялата концепция за вероятност.
