Доста често в математическата наука има редица трудности и въпроси и много от отговорите не винаги са ясни. Не беше изключение и такава тема като кардиналността на наборите. Всъщност това не е нищо повече от числов израз на броя на обектите. В общ смисъл, множеството е аксиома; то няма дефиниция. Тя се основава на всякакви обекти, или по-скоро техен набор, който може да бъде празен, краен или безкраен. В допълнение, той съдържа цели числа или естествени числа, матрици, поредици, сегменти и редове.
Относно съществуващите променливи
Нулев или празен набор без вътрешна стойност се счита за кардинален елемент, тъй като е подмножество. Колекцията от всички подмножества на непразен набор S е набор от множества. По този начин наборът на мощността на даден набор се счита за много, възможен, но единичен. Това множество се нарича множество от степени на S и се означава с P (S). Ако S съдържа N елемента, тогава P(S) съдържа 2^n подмножества, тъй като подмножество от P(S) е или ∅, или подмножество, съдържащо r елементи от S, r=1, 2, 3, … Съставено от всичко безкрайномножество M се нарича мощностна величина и се означава символично с P (M).
Елементи от теорията на множествата
Тази област на знанието е разработена от Джордж Кантор (1845-1918). Днес той се използва в почти всички клонове на математиката и служи като нейна основна част. В теорията на множествата елементите са представени под формата на списък и се дават по типове (празен набор, единични, крайни и безкрайни множества, равни и еквивалентни, универсални), обединение, пресичане, разлика и събиране на числа. В ежедневието често говорим за колекция от предмети като сноп ключове, ято птици, пакет карти и т. н. В 5 клас по математика и по-нататък има естествени, цели, прости и съставни числа.
Могат да бъдат разгледани следните набори:
- естествени числа;
- букви от азбуката;
- основни коефициенти;
- триъгълници с различни страни.
Може да се види, че тези посочени примери са добре дефинирани набори от обекти. Помислете за още няколко примера:
- пет най-известни учени в света;
- седем красиви момичета в обществото;
- трима най-добри хирурзи.
Тези примери за кардиналност не са добре дефинирани колекции от обекти, тъй като критериите за "най-известен", "най-красив", "най-добър" варира от човек на човек.
Набори
Тази стойност е добре дефиниран брой различни обекти. Ако приемем, че:
- wordset е синоним, агрегат, клас и съдържа елементи;
- обекти, членовете са равни условия;
- наборите обикновено се означават с главни букви A, B, C;
- елементите на набора са представени с малки букви a, b, c.
Ако "a" е елемент от множеството A, тогава се казва, че "a" принадлежи на A. Нека обозначим фразата "принадлежи" с гръцкия символ "∈" (епсилон). Така се оказва, че a ∈ A. Ако 'b' е елемент, който не принадлежи на A, това се представя като b ∉ A. Някои важни множества, използвани в математиката за 5 клас, се представят с помощта на следните три метода:
- приложения;
- регистри или таблични;
- правило за създаване на формация.
При по-внимателно разглеждане, формулярът за кандидатстване се основава на следното. В този случай се дава ясно описание на елементите на набора. Всички те са затворени в къдрави скоби. Например:
- набор от нечетни числа, по-малки от 7 - записани като {по-малко от 7};
- набор от числа, по-големи от 30 и по-малко от 55;
- брой ученици в клас, които тежат повече от учителя.
В регистърната форма (таблица) елементите на набор са изброени в двойка скоби {} и разделени със запетаи. Например:
- Нека N означава множеството от първите пет естествени числа. Следователно, N=→ регистрационен формуляр
- Набор от всички гласни на английската азбука. Следователно V={a, e, i, o, u, y} → регистърна форма
- Множеството от всички нечетни числа е по-малко от 9. Следователно, X={1, 3, 5, 7} → формарегистър
- Набор от всички букви в думата "Математика". Следователно Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Регистрационен формуляр
- W е наборът от последните четири месеца на годината. Следователно W={септември, октомври, ноември, декември} → регистър.
Обърнете внимание, че редът, в който са изброени елементите, няма значение, но те не трябва да се повтарят. Установена форма на конструкция, в даден случай, правило, формула или оператор се записва в двойка скоби, така че множеството да е правилно дефинирано. Във формата за създаване на набори всички елементи трябва да имат едно и също свойство, за да станат член на въпросната стойност.
В тази форма на представяне на набора елемент от набора се описва със знака "x" или всяка друга променлива, последвана от двоеточие (":" или "|" се използва за обозначаване). Например, нека P е множеството от изброими числа, по-големи от 12. P във формата за изграждане на множество се записва като - {изброимо число и по-голямо от 12}. Ще се чете по определен начин. Тоест "P е набор от x елементи, така че x е изброимо и по-голямо от 12."
Решен пример с помощта на три метода за представяне на набори: брой цели числа между -2 и 3. По-долу са дадени примери за различни типове набори:
- Празен или нулев набор, който не съдържа никакъв елемент и се обозначава със символа ∅ и се чете като phi. Под формата на списък ∅ се изписва {}. Крайният набор е празен, тъй като броят на елементите е 0. Например наборът от цели числа е по-малък от 0.
- Очевидно не трябва да има <0. Следователно, товапразен комплект.
- Набор, съдържащ само една променлива, се нарича единичен набор. Не е нито просто, нито сложно.
Краен набор
Множество, съдържащо определен брой елементи, се нарича крайно или безкрайно множество. Празно се отнася до първото. Например набор от всички цветове на дъгата.
Infinity е комплект. Елементите в него не могат да бъдат изброени. Тоест, съдържащ подобни променливи се нарича безкрайно множество. Примери:
- мощност на множеството от всички точки в равнината;
- набор от всички прости числа.
Но трябва да разберете, че всички мощности на обединението на множество не могат да бъдат изразени под формата на списък. Например реални числа, тъй като техните елементи не съответстват на конкретен модел.
Кардиналният номер на набор е броят на различните елементи в дадено количество A. Означава се n (A).
Например:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Следователно n (A)=4.
- B=набор от букви в думата АЛГЕБРА.
Еквивалентни комплекти за сравнение на набори
Две мощности на множество A и B са такива, ако кардиналното им число е едно и също. Символът за еквивалентния набор е "↔". Например: A ↔ B.
Равни множества: две мощности на множества A и B, ако съдържат едни и същи елементи. Всеки коефициент от A е променлива от B и всеки от B е определената стойност на A. Следователно, A=B. Различните типове съюзи на мощността и техните дефиниции са обяснени с помощта на предоставените примери.
Същност на крайността и безкрайността
Какви са разликите между мощността на крайно множество и безкрайно множество?
Първата стойност има следното име, ако е празна или има краен брой елементи. В краен набор може да се посочи променлива, ако има ограничен брой. Например, използвайки естественото число 1, 2, 3. И процесът на изброяване завършва при някакво N. Броят на различните елементи, преброени в крайното множество S, се означава с n (S). Нарича се още орден или кардинал. Символично обозначена според стандартния принцип. По този начин, ако множеството S е руската азбука, то съдържа 33 елемента. Също така е важно да запомните, че елемент не се среща повече от веднъж в набор.
Безкрайно в комплекта
Множество се нарича безкраен, ако елементите не могат да бъдат изброени. Ако има неограничено (тоест неизброимо) естествено число 1, 2, 3, 4 за всяко n. Множество, което не е крайно, се нарича безкрайно. Сега можем да обсъдим примери за разглежданите числови стойности. Опции за крайна стойност:
- Нека Q={естествени числа по-малко от 25}. Тогава Q е крайно множество и n (P)=24.
- Нека R={цели числа между 5 и 45}. Тогава R е крайно множество и n (R)=38.
- Нека S={числа по модул 9}. Тогава S={-9, 9} е крайно множество и n (S)=2.
- Набор от всички хора.
- Брой на всички птици.
Безкрайни примери:
- брой съществуващи точки в равнината;
- брой на всички точки в отсечката;
- наборът от положителни числа, делими се на 3, е безкраен;
- всички цели и естествени числа.
Така от горните разсъждения става ясно как да се прави разлика между крайни и безкрайни множества.
Мощност на непрекъснатия набор
Ако сравним набора и други съществуващи стойности, тогава към комплекта е прикрепено допълнение. Ако ξ е универсален и A е подмножество на ξ, тогава допълнението на A е броят на всички елементи от ξ, които не са елементи на A. Символично, допълнението на A по отношение на ξ е A'. Например, 2, 4, 5, 6 са единствените елементи от ξ, които не принадлежат на A. Следователно, A'={2, 4, 5, 6}
Набор с континуум на мощността има следните характеристики:
- допълнение към универсалното количество е въпросната празна стойност;
- тази променлива с нулев набор е универсална;
- сумата и нейното допълнение са несъвместими.
Например:
- Нека броят на естествените числа е универсален набор и A е четно. Тогава A '{x: x е нечетно множество със същите цифри}.
- Нека ξ=набор от букви в азбуката. A=набор от съгласни. Тогава A '=брой гласни.
- Допълнението към универсалния комплект е празното количество. Може да се обозначи с ξ. Тогава ξ '=Множеството от онези елементи, които не са включени в ξ. Празното множество φ се записва и обозначава. Следователно ξ=φ. По този начин допълнението към универсалното множество е празно.
В математиката понякога се използва "континуум" за представяне на реална линия. И по-общо, за описание на подобни обекти:
- континуум (в теорията на множеството) - реална линия или съответно кардинално число;
- линейно - всеки подреден набор, който споделя определени свойства на реална линия;
- континуум (в топология) - непразно компактно свързано метрично пространство (понякога на Хаусдорф);
- хипотезата, че няма безкрайни множества по-големи от цели числа, но по-малки от реалните числа;
- силата на континуума е кардинално число, представляващо размера на набора от реални числа.
По същество, континуум (измерване), теории или модели, които обясняват постепенни преходи от едно състояние в друго без никаква рязка промяна.
Проблеми на съединението и пресичането
Известно е, че пресечната точка на две или повече множества е числото, съдържащо всички елементи, които са общи в тези стойности. Задачите на Word върху множествата се решават, за да се получат основни идеи за това как да се използват свойствата на обединението и пресичането на множествата. Решени основните проблеми на думите накомплектите изглеждат така:
Нека A и B са две крайни множества. Те са такива, че n (A)=20, n (B)=28 и n (A ∪ B)=36, намерете n (A ∩ B)
Връзка в набори с помощта на диаграма на Вен:
- Обединението на две множества може да бъде представено чрез защрихована област, представляваща A ∪ B. A ∪ B, когато A и B са несвързани множества.
- Пресечната точка на две групи може да бъде представена с диаграма на Вен. Със засенчена област, представляваща A ∩ B.
- Разликата между двата набора може да бъде представена чрез диаграми на Вен. Със засенчена област, представляваща A - B.
- Връзка между три набора с помощта на диаграма на Вен. Ако ξ представлява универсална величина, тогава A, B, C са три подмножества. Тук и трите набора се припокриват.
Обобщаване на информацията за комплекта
Кардиналността на набор се определя като общия брой на отделните елементи в набора. И последната определена стойност се описва като броя на всички подмножества. При изучаване на такива въпроси са необходими методи, методи и решения. И така, за кардиналността на набора, следните примери могат да служат като:
Нека A={0, 1, 2, 3}| |=4, където | A | представлява мощността на множество A.
Сега можете да намерите своя захранващ пакет. Това също е доста просто. Както вече беше казано, наборът за мощност се задава от всички подмножества на дадено число. Така че човек трябва основно да дефинира всички променливи, елементи и други стойности на A,които са {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Сега изчисли мощността P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, който има 16 елемента. По този начин, мощността на множеството A=16. Очевидно това е досаден и тромав метод за решаване на този проблем. Въпреки това, има проста формула, чрез която директно можете да знаете броя на елементите в степенния набор на дадено число. | P |=2 ^ N, където N е броят на елементите в някои A. Тази формула може да се получи с помощта на проста комбинаторика. Така че въпросът е 2^11, тъй като броят на елементите в набор A е 11.
И така, набор е всяко числово изразено количество, което може да бъде всеки възможен обект. Например коли, хора, числа. В математически смисъл това понятие е по-широко и по-обобщено. Ако в началните етапи числата и вариантите за тяхното решаване са подредени, то в средните и по-високите етапи условията и задачите се усложняват. Всъщност мощността на обединението на множество се определя от принадлежността на обекта към която и да е група. Тоест, един елемент принадлежи на клас, но има една или повече променливи.
