Георг Кантор (снимката е дадена по-късно в статията) е немски математик, който създава теория на множествата и въвежда концепцията за трансфинитни числа, безкрайно големи, но различни едно от друго. Той също така дефинира поредни и кардинални числа и създаде тяхната аритметика.
Георг Кантор: кратка биография
Роден в Санкт Петербург на 1845-03-03. Баща му беше датчанин от протестантската вяра Георг-Валдемар Кантор, който се занимаваше с търговия, включително на фондовата борса. Майка му Мария Бем е католичка и произхожда от семейство на видни музиканти. Когато бащата на Георг се разболява през 1856 г., семейството се мести първо във Висбаден, а след това във Франкфурт в търсене на по-мек климат. Математическите таланти на момчето се проявяват още преди 15-ия му рожден ден, докато учи в частни училища и гимназии в Дармщат и Висбаден. В крайна сметка Георг Кантор убеди баща си в твърдото си намерение да стане математик, а не инженер.
След кратко обучение в университета в Цюрих, през 1863 г. Кантор се прехвърля в Берлинския университет, за да учи физика, философия и математика. Ето гопреподава:
- Карл Теодор Вайерщрас, чиято специализация в анализа вероятно има най-голямо влияние върху Георг;
- Ернст Едуард Кумер, който преподава висша аритметика;
- Леополд Кронекер, теоретик на числата, който по-късно се противопостави на Кантор.
След като прекарва един семестър в университета в Гьотинген през 1866 г., следващата година Георг написва докторската си дисертация, озаглавена „В математиката изкуството да се задават въпроси е по-ценно от решаването на проблеми“, относно проблем, който Карл Фридрих Гаус е имал остава неразкрит в неговите Disquisitiones Arithmeticae (1801). След като преподава за кратко в Берлинското училище за момичета, Кантор започва работа в университета в Хале, където остава до края на живота си, първо като учител, от 1872 г. като асистент, а от 1879 г. като професор.
Изследване
В началото на поредица от 10 статии от 1869 до 1873 г. Георг Кантор разглежда теорията на числата. Работата отразява неговата страст към темата, изучаването му на Гаус и влиянието на Кронекер. По предложение на Хайнрих Едуард Хайне, колегата на Кантор в Хале, който признава неговия математически талант, той се обръща към теорията на тригонометричните редове, в която разширява понятието за реални числа.
Въз основа на работата върху функцията на комплексна променлива на немския математик Бернхард Риман през 1854 г., през 1870 г. Кантор показа, че такава функция може да бъде представена само по един начин - чрез тригонометричен ред. Разглеждане на набор от числа (точки), коитоне би противоречило на подобен възглед, го доведе, първо, през 1872 г. до дефиницията на ирационалните числа от гледна точка на сближаващи се поредици от рационални числа (дроби от цели числа) и по-нататък до началото на работата върху работата на живота му, теорията на множествата и концепцията на транскрайни числа.
Теория на наборите
Георг Кантор, чиято теория на множествата възниква в кореспонденция с математика от Техническия институт на Брауншвайг Ричард Дедекинд, е негов приятел от детството. Те стигнаха до заключението, че множествата, независимо дали са крайни или безкрайни, са колекции от елементи (напр. числа, {0, ±1, ±2…}), които имат определено свойство, като същевременно запазват своята индивидуалност. Но когато Георг Кантор използва кореспонденция едно към едно (например {A, B, C} към {1, 2, 3}), за да проучи техните характеристики, той бързо осъзна, че те се различават по степента си на членство, дори ако са били безкрайни множества., т.е. множества, част или подмножество от които включва толкова обекти, колкото и самият той. Методът му скоро даде невероятни резултати.
През 1873 г. Георг Кантор (математик) показа, че рационалните числа, макар и безкрайни, са изброими, защото могат да бъдат поставени в съответствие едно към едно с естествени числа (т.е. 1, 2, 3 и т.н.). д.). Той показа, че множеството от реални числа, състоящо се от ирационални и рационални, е безкрайно и неизброимо. По-парадоксално, Кантор доказа, че множеството от всички алгебрични числа съдържа толкова елементи, колкотоколко са множеството от всички цели числа и че трансценденталните числа, които не са алгебрични, които са подмножество от ирационални числа, са неизброими и следователно техният брой е по-голям от целите числа и трябва да се счита за безкраен.
Противници и поддръжници
Но статията на Кантор, в която той за първи път представи тези резултати, не беше публикувана в Krell, тъй като един от рецензентите, Кронекер, беше яростно против. Но след намесата на Дедекинд, тя е публикувана през 1874 г. под заглавието "За характерните свойства на всички реални алгебрични числа."
Наука и личен живот
Същата година, докато е на медения си месец със съпругата си Уоли Гутман в Интерлакен, Швейцария, Кантор се запознава с Дедекинд, който се изказва положително за новата му теория. Заплатата на Георги е малка, но с парите на баща си, починал през 1863 г., той построява къща за жена си и петте си деца. Много от неговите статии са публикувани в Швеция в новото списание Acta Mathematica, редактирано и основано от Геста Митаг-Лефлер, който е сред първите, признали таланта на немския математик.
Връзка с метафизиката
Теорията на Кантор се превърна в напълно нов предмет на изучаване относно математиката на безкрайното (напр. серии 1, 2, 3 и т.н. и по-сложни множества), които зависеха до голяма степен от съответствието едно към едно. Кантор разработва нови методи за постановкавъпроси относно приемствеността и безкрайността, придават на изследването му двусмислен характер.
Когато той твърди, че безкрайните числа наистина съществуват, той се обръща към античната и средновековната философия относно действителната и потенциалната безкрайност, както и към ранното религиозно образование, което родителите му дават. През 1883 г., в книгата си Основи на общата теория на множествата, Кантор комбинира концепцията си с метафизиката на Платон.
Кронекер, който твърди, че само цели числа „съществуват“(„Бог е създал целите числа, останалото е дело на човека“), в продължение на много години яростно отхвърляше разсъжденията му и предотвратяваше назначаването му в Берлинския университет.
Трансфинитни числа
През 1895-97г. Георг Кантор напълно формира своята представа за приемственост и безкрайност, включително безкрайни редни и кардинални числа, в най-известната си работа, публикувана като Принос към установяването на теорията на трансфините числа (1915). Това есе съдържа неговата концепция, към която той беше воден, като демонстрира, че едно безкрайно множество може да бъде поставено в съответствие едно към едно с едно от неговите подмножества.
Под най-малкото трансфинитно кардинално число той има предвид мощността на всеки набор, който може да бъде поставен в съответствие едно към едно с естествени числа. Кантор го нарече алеф-нула. Големите трансфинитни множества се означават алеф-едно, алеф-два и т.н. Той доразвива аритметиката на трансфинитните числа, която е аналогична на крайната аритметика. така че тойобогати концепцията за безкрайността.
Опозицията, с която се изправи, и времето, необходимо за пълното приемане на идеите му, се дължат на трудността при преоценката на древния въпрос какво е число. Кантор показа, че наборът от точки на права има по-висока мощност от алеф-нула. Това доведе до добре познатия проблем на хипотезата за континуума – няма кардинални числа между алеф-нула и степента на точките на правата. Този проблем през първата и втората половина на 20-ти век предизвиква голям интерес и е изследван от много математици, включително Курт Гьодел и Пол Коен.
Депресия
Биографията на Георг Кантор от 1884 г. е засенчена от психичното му заболяване, но той продължава да работи активно. През 1897 г. помага за провеждането на първия международен математически конгрес в Цюрих. Отчасти защото му се противопоставя Кронекер, той често симпатизира на младите амбициозни математици и се стремеше да намери начин да ги спаси от тормоза на учители, които се чувстваха застрашени от нови идеи.
Признание
В началото на века работата му е напълно призната като основа за теорията на функциите, анализа и топологията. Освен това книгите на Кантор Георг послужиха като тласък за по-нататъшното развитие на интуиционистките и формалистичните школи на логическите основи на математиката. Това значително промени системата на преподаване и често се свързва с "новата математика".
През 1911 г. Кантор е сред поканенитечестване на 500-годишнината на университета Сейнт Андрюс в Шотландия. Той отиде там с надеждата да срещне Бертран Ръсел, който в наскоро публикуваната си работа Principia Mathematica многократно се позовава на немския математик, но това не се случи. Университетът присъди на Кантор почетна степен, но поради заболяване той не можа да приеме наградата лично.
Кантор се пенсионира през 1913 г., живее в бедност и гладува по време на Първата световна война. Тържествата в чест на 70-ия му рожден ден през 1915 г. бяха отменени поради войната, но в дома му се състоя малка церемония. Умира на 01.06.1918 г. в Хале, в психиатрична болница, където прекарва последните години от живота си.
Георг Кантор: биография. Семейство
9 август 1874 г., немски математик се жени за Уоли Гутман. Двойката имаше 4 сина и 2 дъщери. Последното дете е родено през 1886 г. в нова къща, закупена от Кантор. Наследството на баща му му помага да издържа семейството си. Здравето на Кантор е силно засегнато от смъртта на най-малкия му син през 1899 г. и депресията не го е напуснала оттогава.
