Малко вероятно е много хора да се замислят дали е възможно да се изчислят събития, които са повече или по-малко случайни. Казано по-просто, реалистично ли е да се знае коя страна на зарчето в зара ще падне следващата. Именно този въпрос зададоха двама велики учени, които положиха основата на такава наука като теорията на вероятностите, в която вероятността за събитие се изучава доста обстойно.
Произход
Ако се опитате да дефинирате такова понятие като теория на вероятностите, ще получите следното: това е един от клоновете на математиката, който изучава постоянството на случайните събития. Разбира се, тази концепция всъщност не разкрива цялата същност, така че е необходимо да я разгледаме по-подробно.
Бих искал да започна със създателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше двама от тях, това са Пиер Ферма и Блез Паскал. Именно те бяха сред първите, които се опитаха да изчислят резултата от събитие, използвайки формули и математически изчисления. Като цяло зачатъците на тази наука се появяват още презСредна възраст. По това време различни мислители и учени се опитват да анализират хазарта, като рулетка, зарове и т.н., като по този начин установяват модел и процент на изпадане на определено число. Основата е положена през седемнадесети век от гореспоменатите учени.
В началото работата им не можеше да се припише на големите постижения в тази област, защото всичко, което направиха, беше просто емпирични факти, а експериментите бяха поставени визуално, без използване на формули. С течение на времето се оказа, че постига страхотни резултати, които се появиха в резултат на наблюдение на хвърлянето на зарове. Именно този инструмент помогна да се изведат първите разбираеми формули.
сътрудници
Невъзможно е да не споменем такъв човек като Кристиан Хюйгенс, в процеса на изучаване на тема, наречена "теория на вероятностите" (вероятността на събитие се разглежда точно в тази наука). Този човек е много интересен. Той, подобно на учените, представени по-горе, се опита да изведе редовността на случайните събития под формата на математически формули. Прави впечатление, че той не направи това заедно с Паскал и Ферма, тоест всичките му произведения по никакъв начин не се пресичаха с тези умове. Хюйгенс изведе основните концепции на теорията на вероятностите.
Интересен факт е, че работата му е излязла много преди резултатите от работата на пионерите, или по-скоро двадесет години по-рано. Сред обозначените понятия най-известните са:
- концепцията за вероятността като величина на шанса;
- очакване за дискретнослучаи;
- теореми за умножение и събиране на вероятности.
Невъзможно е също така да не си спомним Якоб Бернули, който също има значителен принос в изследването на проблема. Провеждайки свои собствени тестове, независими от никого, той успя да представи доказателство за закона за големите числа. От своя страна учените Поасон и Лаплас, които са работили в началото на деветнадесети век, успяват да докажат оригиналните теореми. От този момент теорията на вероятностите започва да се използва за анализ на грешките в хода на наблюденията. Руските учени, или по-скоро Марков, Чебишев и Дяпунов, също не можаха да заобиколят тази наука. Въз основа на работата, извършена от великите гении, те фиксират този предмет като клон на математиката. Тези фигури са работили още в края на деветнадесети век и благодарение на техния принос се появяват явления като:
- закон за големи числа;
- теория на веригата на Марков;
- централна гранична теорема.
И така, с историята на раждането на науката и с основните хора, които са я повлияли, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да конкретизираме всички факти.
Основни понятия
Преди да се докоснем до законите и теоремите, си струва да проучим основните понятия на теорията на вероятностите. Събитието заема водеща роля в него. Тази тема е доста обемна, но без нея няма да е възможно да се разбере всичко останало.
Събитие в теорията на вероятностите е всеки набор от резултати от експеримент. Няма толкова много понятия за това явление. И така, учен Лотман,работейки в тази област, каза, че в този случай говорим за нещо, което „се е случило, въпреки че може и да не се е случило.“
Случайни събития (теорията на вероятностите им обръща специално внимание) е концепция, която предполага абсолютно всяко явление, което има способността да се случи. Или, обратно, този сценарий може да не се случи, когато са изпълнени много условия. Също така си струва да се знае, че случайните събития улавят целия обем от явления, които са се случили. Теорията на вероятностите показва, че всички условия могат да се повтарят постоянно. Именно тяхното поведение се наричаше "опит" или "тест".
Определено събитие е това, което ще се случи 100% в даден тест. Съответно, невъзможно събитие е това, което няма да се случи.
Комбинация от двойка действия (условно случай А и случай Б) е явление, което се случва едновременно. Те са обозначени като AB.
Сборът от двойки събития A и B е C, с други думи, ако се случи поне едно от тях (A или B), тогава ще се получи C. Формулата на описаното явление се записва по следния начин: C=A + B.
Разчленените събития в теорията на вероятностите предполагат, че два случая се изключват взаимно. Те никога не могат да се случат едновременно. Съвместните събития в теорията на вероятностите са техен антипод. Това означава, че ако се е случило А, то не пречи на B.
Противоположните събития (теорията на вероятностите ги разглежда много подробно) са лесни за разбиране. Най-добре е да се справите с тях в сравнение. Те са почти същите катои несъвместими събития в теорията на вероятностите. Но разликата им е във факта, че едно от многото явления така или иначе трябва да се случи.
Еквивалентни събития са тези действия, възможността за които е равна. За да стане по-ясно, можем да си представим хвърлянето на монета: падането на едната й страна е еднакво вероятно да падне и на другата.
Благоприятно събитие е по-лесно да се види с пример. Да кажем, че има епизод Б и епизод А. Първият е хвърлянето на заровете с появата на нечетно число, а вторият е появата на числото пет на зарчето. Тогава се оказва, че А предпочита B.
Независимите събития в теорията на вероятностите се проектират само върху два или повече случая и предполагат независимост на всяко действие от друго. Например, A е загубата на опашки при хвърляне на монета, а B е тегленето на вале от тестето. Те са независими събития в теорията на вероятностите. С този момент стана по-ясно.
Зависимите събития в теорията на вероятностите също са допустими само за техния набор. Те предполагат зависимостта на едното от другото, тоест явлението B може да възникне само ако A вече се е случило или, напротив, не се е случило, когато това е основното условие за B.
Резултатът от произволен експеримент, състоящ се от един компонент, са елементарни събития. Теорията на вероятностите обяснява, че това е явление, което се е случило само веднъж.
Основни формули
И така, понятията за "събитие", "теория на вероятностите",беше дадено и определение на основните термини на тази наука. Сега е време да се запознаете директно с важните формули. Тези изрази математически потвърждават всички основни понятия в такъв труден предмет като теорията на вероятностите. Вероятността за събитие също играе огромна роля тук.
По-добре започнете с основните формули на комбинаториката. И преди да пристъпите към тях, си струва да помислите какво представлява.
Комбинаториката е предимно клон на математиката, занимава се с изучаване на огромен брой цели числа, както и различни пермутации както на самите числа, така и на техните елементи, различни данни и т.н., водещи до появата на редица комбинации. В допълнение към теорията на вероятностите, този клон е важен за статистиката, компютърните науки и криптографията.
Така че сега можем да преминем към представяне на самите формули и дефинирането им.
Първият ще бъде изразът за броя на пермутациите, изглежда така:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Уравнението се прилага само ако елементите се различават само по ред.
Сега формулата за разположение ще бъде разгледана, тя изглежда така:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Този израз се отнася не само за реда на елемента, но и за неговия състав.
Третото уравнение от комбинаториката, а то е и последното, се нарича формула за броя на комбинациите:
C_n^m=n !: ((н -м))!:m !
Комбинациите са селекции, които не са подредени, съответно и това правило важи за тях.
Оказа се, че е лесно да разберем формулите на комбинаториката, сега можем да преминем към класическото определение на вероятностите. Този израз изглежда така:
P(A)=m: n.
В тази формула m е броят на условията, благоприятни за събитие A, а n е броят на абсолютно всички еднакво възможни и елементарни резултати.
Има голям брой изрази, статията няма да обхване всички тях, но ще бъдат засегнати най-важните от тях, като например вероятността от сбора на събитията:
P(A + B)=P(A) + P(B) - тази теорема е за добавяне само на несъвместими събития;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - и този е за добавяне само на съвместими.
Вероятност за създаване на събития:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – тази теорема е за независими събития;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - и това е за наркомани.
Формулата за събитие завършва списъка. Теорията на вероятностите ни разказва за теоремата на Байес, която изглежда така:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
В тази формула H1, H2, …, H е пълна група от хипотези.
Нека спрем до тук, след което ще бъдат разгледани примери за прилагане на формули за решаване на конкретни проблеми от практиката.
Примери
Ако внимателно проучите който и да е разделматематика, не става без упражнения и примерни решения. Такава е и теорията на вероятностите: събитията, примерите тук са неразделен компонент, който потвърждава научни изчисления.
Формула за броя на пермутациите
Да приемем, че има тридесет карти в тесте карти, като се започне с една номинална стойност. Следващ въпрос. Колко начина има за подреждане на тестето, така че картите с номинална стойност едно и две да не са една до друга?
Задачата е поставена, сега да преминем към решаването й. Първо трябва да определите броя на пермутациите на тридесет елемента, за това вземаме горната формула, оказва се P_30=30!.
Въз основа на това правило ще разберем колко опции има за сгъване на тестето по различни начини, но трябва да извадим от тях тези, в които първата и втората карта са следващите. За да направите това, нека започнем с опцията, когато първата е над втората. Оказва се, че първата карта може да заеме двадесет и девет места - от първата до двадесет и деветата, а втората карта от втората до тридесетата, се оказва двадесет и девет места за чифт карти. От своя страна останалите могат да заемат двадесет и осем места и в произволен ред. Тоест, за пермутация на двадесет и осем карти има двадесет и осем опции P_28=28!
В резултат на това се оказва, че ако разгледаме решението, когато първата карта е над втората, има 29 ⋅ 28 допълнителни възможности!=29!
Използвайки същия метод, трябва да изчислите броя на излишните опции за случая, когато първата карта е под втората. Оказва се също 29 ⋅ 28!=29!
От това следва, че има 2 ⋅ 29 допълнителни опции!, докато има 30 необходими начина за изграждане на тесте! - 2 ⋅ 29!. Остава само да се брои.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Сега трябва да умножите всички числа от едно до двадесет и девет заедно и след това в края да умножите всичко по 28. Отговорът е 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Решение на примера. Формула за номер на разположение
В този проблем трябва да разберете колко начина има да поставите петнадесет тома на един рафт, но при условие, че има общо тридесет тома.
Този проблем има малко по-лесно решение от предишния. Използвайки вече известната формула, е необходимо да се изчисли общият брой места от тридесет тома от петнадесет.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 20723
Отговорът, съответно, ще бъде 202 843 204 931 727 360 000.
Сега нека приемем задачата малко по-трудно. Трябва да разберете колко начини има да подредите тридесет книги на две лавици, при условие че само петнадесет тома могат да бъдат на един рафт.
Преди да започна решението, бих искал да поясня, че някои проблеми се решават по няколко начина, така че в този има два начина, но и в двата се използва една и съща формула.
В този проблем можете да вземете отговора от предишния, защото там изчислихме колко пъти можете да напълните рафт с петнадесет книги за…различно. Оказа се A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Ще изчислим втория рафт по формулата за пермутация, защото в него са поставени петнадесет книги, а остават само петнадесет. Използвайте формулата P_15=15!.
Оказва се, че общата сума ще бъде A_30^15 ⋅ P_15 начини, но освен това, произведението на всички числа от тридесет до шестнадесет ще трябва да се умножи по произведението на числата от едно до петнадесет, т.к. резултат, произведението на всички числа от едно до тридесет, така че отговорът е 30!
Но този проблем може да бъде решен по различен начин - по-лесно. За да направите това, можете да си представите, че има един рафт за тридесет книги. Всички те са поставени на тази равнина, но тъй като условието изисква да има два рафта, ние разрязваме един дълъг наполовина, оказват се два и петнадесет всеки. От това се оказва, че опциите за разположение могат да бъдат P_30=30!.
Решение на примера. Формула за комбинация номер
Сега ще разгледаме вариант на третия проблем от комбинаториката. Трябва да разберете колко начина има да подредите петнадесет книги, при условие че трябва да изберете от тридесет абсолютно еднакви.
За решението, разбира се, ще бъде приложена формулата за броя на комбинациите. От условието става ясно, че редът на еднаквите петнадесет книги не е важен. Следователно, първоначално трябва да разберете общия брой комбинации от тридесет книги от петнадесет.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: петнадесет!=155 117 520
Това е. Използвайки тази формула, това беше възможно в най-кратки сроковереши такъв проблем, отговорът, съответно, е 155 117 520.
Решение на примера. Класическата дефиниция на вероятността
С формулата по-горе можете да намерите отговора на прост проблем. Но ще ви помогне визуално да видите и следвате хода на действията.
В задачата е дадено, че в урната има десет абсолютно еднакви топки. От тях четири са жълти и шест са сини. От урната се взема една топка. Трябва да разберете вероятността да получите синьо.
За да се реши проблема, е необходимо да се определи получаването на синята топка като събитие А. Това преживяване може да има десет резултата, които от своя страна са елементарни и еднакво вероятни. В същото време от десет шест са благоприятни за събитие А. Решаваме по формулата:
P(A)=6: 10=0, 6
Прилагайки тази формула, открихме, че вероятността да получим синята топка е 0,6.
Решение на примера. Вероятност на сбора от събития
Сега ще бъде представен вариант, който се решава по формулата за вероятността на сбора от събития. И така, при условие, че има две кутии, първата съдържа една сива и пет бели топки, а втората съдържа осем сиви и четири бели топки. В резултат на това един от тях беше взет от първата и втората кутия. Трябва да разберете какъв е шансът топките, които получавате, да са сиво-бели.
За да разрешите този проблем, трябва да маркирате събитията.
- И така, A - вземете сива топка от първата кутия: P(A)=1/6.
- A’ – вземете бяла топка също от първата кутия: P(A')=5/6.
- B – сивата топка вече е извадена от втората кутия: P(B)=2/3.
- B’ – вземете сива топка от втората кутия: P(B')=1/3.
Според условието на задачата трябва да се случи едно от явленията: AB' или A'B. Използвайки формулата, получаваме: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Сега е използвана формулата за умножение на вероятностите. След това, за да разберете отговора, трябва да приложите уравнението за тяхното събиране:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Ето как, използвайки формулата, можете да решите подобни проблеми.
Резултат
Статията предоставя информация по темата "Теория на вероятностите", в която вероятността за събитие играе решаваща роля. Разбира се, не всичко беше взето предвид, но въз основа на представения текст може теоретично да се запознае с този раздел от математиката. Въпросната наука може да бъде полезна не само в професионалната работа, но и в ежедневието. С негова помощ можете да изчислите всяка възможност за всяко събитие.
Текстът засяга и значими дати от историята на формирането на теорията на вероятностите като наука и имената на хора, чиито трудове са вложени в нея. Ето как човешкото любопитство доведе до факта, че хората се научиха да изчисляват дори случайни събития. Някога те просто се интересуваха от това, но днес вече всички знаят за това. И никой няма да каже какво ни очаква в бъдеще, какви други блестящи открития, свързани с разглежданата теория, ще бъдат направени. Но едно е сигурно - изследванията не стоят на едно място!
