Много, изправени пред концепцията за "теория на вероятностите", са уплашени, мислейки, че това е нещо поразително, много сложно. Но всъщност не всичко е толкова трагично. Днес ще разгледаме основната концепция на теорията на вероятностите, ще научим как да решаваме проблеми с помощта на конкретни примери.
Наука
Какво изучава такъв клон на математиката като "теория на вероятностите"? Той отбелязва модели на случайни събития и количества. За първи път учените се интересуват от този въпрос още през осемнадесети век, когато изучават хазарта. Основната концепция на теорията на вероятностите е събитие. Това е всеки факт, който се установява от опит или наблюдение. Но какво е опит? Друга основна концепция на теорията на вероятностите. Това означава, че тази композиция на обстоятелствата не е създадена случайно, а с конкретна цел. Що се отнася до наблюдението, тук самият изследовател не участва в експеримента, а е просто свидетел на тези събития, той не влияе по никакъв начин на случващото се.
Събития
Научихме, че основната концепция на теорията на вероятностите е събитие, но не взехме предвид класификацията. Всички те са разделени в следните категории:
- Надежден.
- Невъзможно.
- Случайно.
Няма значениекакви събития се наблюдават или създават в хода на опита, всички те подлежат на тази класификация. Предлагаме да се запознаете с всеки от видовете поотделно.
Определено събитие
Това е обстоятелство, пред което са предприети необходимия набор от мерки. За да разберете по-добре същността, по-добре е да дадете няколко примера. Физиката, химията, икономиката и висшата математика са обект на този закон. Теорията на вероятностите включва такова важно понятие като определено събитие. Ето няколко примера:
- Работим и получаваме възнаграждение под формата на заплати.
- Издържахме изпитите добре, преминахме състезанието, за това получаваме награда под формата на прием в образователна институция.
- Инвестирахме пари в банката, ще ги върнем, ако е необходимо.
Такива събития са надеждни. Ако сме изпълнили всички необходими условия, тогава определено ще получим очаквания резултат.
Невъзможни събития
Сега разглеждаме елементи от теорията на вероятностите. Предлагаме да преминем към обяснение на следващия тип събитие, а именно невъзможното. Първо, нека уточним най-важното правило - вероятността за невъзможно събитие е нула.
Не можете да се отклонявате от тази формулировка, когато решавате проблеми. За да изясним, ето примери за такива събития:
- Водата замръзна при плюс десет (това е невъзможно).
- Липсата на електричество не засяга производството по никакъв начин (точно толкова невъзможно, както в предишния пример).
Още примериНе си струва да се цитира, тъй като описаните по-горе много ясно отразяват същността на тази категория. Невъзможното събитие никога няма да се случи по време на преживяването при никакви обстоятелства.
Случайни събития
Изучавайки елементите на теорията на вероятностите, трябва да се обърне специално внимание на този конкретен тип събитие. Това е, което науката изучава. В резултат на опита нещо може да се случи или да не се случи. Освен това тестът може да се повтаря неограничен брой пъти. Ярки примери са:
- Хвърлянето на монета е преживяване или тест, заглавието е събитие.
- Сляпо теглене на топка от торба е тест, червена топка е уловена е събитие и така нататък.
Може да има неограничен брой такива примери, но като цяло същността трябва да е ясна. За обобщаване и систематизиране на придобитите знания за събития е дадена таблица. Теорията на вероятностите изучава само последния тип от всички представени.
| заглавие | определение | пример |
| Надежден | Събития, които се случват със 100% гаранция при определени условия. | Прием в образователна институция с добър приемен изпит. |
| Невъзможно | Събития, които никога няма да се случат при никакви обстоятелства. | Вали сняг при температура от плюс тридесет градуса по Целзий. |
| Случайно | Събитие, което може или не може да се случи по време на експеримент/тест. | Ударете или пропуснете, когато хвърляте баскетболна топка в обръч. |
Закони
Теорията на вероятностите е наука, която изучава възможността за настъпване на събитие. Подобно на другите, той има някои правила. Съществуват следните закони на теорията на вероятностите:
- Сближаване на поредици от произволни променливи.
- Законът за големите числа.
Когато изчислявате възможността за комплекс, можете да използвате комплекс от прости събития, за да постигнете резултата по по-лесен и бърз начин. Забележете, че законите на теорията на вероятностите се доказват лесно с помощта на някои теореми. Нека започнем с първия закон.
Сближаване на поредици от произволни променливи
Забележете, че има няколко типа сближаване:
- Последователността от произволни променливи се сближава по вероятност.
- Почти невъзможно.
- RMS конвергенция.
- Сближаване в разпределението.
Така че в движение е много трудно да се стигне до дъното на нещата. Ето някои дефиниции, които да ви помогнат да разберете тази тема. Нека започнем с първия поглед. Последователност се нарича сходяща по вероятност, ако е изпълнено следното условие: n клони към безкрайност, числото, към което клони последователността е по-голямо от нула и близко до едно.
Преминавам към следващия изглед, почти сигурно. Казват, чепоследователността се сближава почти сигурно до произволна променлива, като n клони към безкрайност и P клони към стойност, близка до единица.
Следващият тип е средно-квадратната конвергенция. Когато се използва SC-конвергенция, изследването на векторните случайни процеси се свежда до изследване на техните координатни произволни процеси.
Последният тип остава, нека да го разгледаме накратко, за да преминем директно към решаването на проблеми. Конвергенцията на разпределението има друго име - „слаба“, по-долу ще обясним защо. Слабата конвергенция е сближаването на функциите на разпределение във всички точки на непрекъснатост на функцията за гранично разпределение.
Не забравяйте да изпълните обещанието: слабата конвергенция се различава от всички изброени по-горе по това, че случайната променлива не е дефинирана в вероятностното пространство. Това е възможно, защото условието се формира изключително с помощта на функции за разпределение.
Закон за големи числа
Отличен помощник в доказването на този закон ще бъдат теореми на теорията на вероятностите, като:
- Неравенството на Чебишев.
- Теоремата на Чебишев.
- Обобщена теорема на Чебишев.
- Теорема на Марков.
Ако разгледаме всички тези теореми, тогава този въпрос може да се проточи за няколко десетки листа. Нашата основна задача е да приложим теорията на вероятностите на практика. Каним ви да направите това точно сега. Но преди това, нека разгледаме аксиомите на теорията на вероятностите, те ще бъдат основните помощници при решаването на проблеми.
Аксиоми
Вече се срещнахме с първия, когато говорихме за невъзможното събитие. Нека запомним: вероятността за невъзможно събитие е нула. Дадохме много ярък и запомнящ се пример: валя сняг при температура на въздуха от тридесет градуса по Целзий.
Вторият звучи така: възниква надеждно събитие с вероятност, равна на единица. Сега нека покажем как да го напишем с помощта на математически език: P(B)=1.
Трето: Случайно събитие може да се случи или не, но възможността винаги варира от нула до едно. Колкото по-близо е стойността до единица, толкова по-голям е шансът; ако стойността се доближи до нула, вероятността е много ниска. Нека напишем това на математически език: 0<Р(С)<1.
Нека разгледаме последната, четвърта аксиома, която звучи така: вероятността за сбора на две събития е равна на сумата от техните вероятности. Пишем на математически език: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Аксиомите на теорията на вероятностите са най-простите правила, които лесно се запомнят. Нека се опитаме да решим някои проблеми, въз основа на вече придобитите знания.
Билет за лотария
Първо, разгледайте най-простия пример - лотарията. Представете си, че сте купили един лотариен билет за късмет. Каква е вероятността да спечелите поне двадесет рубли? Общо хиляда билета участват в обръщението, един от които има награда от петстотин рубли, десет от сто рубли, петдесет от двадесет рубли и сто от пет. Проблемите в теорията на вероятностите се основават на намирането на възможносттакъсмет. Сега заедно ще анализираме решението на представената по-горе задача.
Ако обозначим с буквата A печалба от петстотин рубли, тогава вероятността да получим A ще бъде 0,001. Как я получихме? Просто трябва да разделите броя на "щастливите" билети на общия им брой (в този случай: 1/1000).
B е печалба от сто рубли, вероятността ще бъде 0,01. Сега действахме според същия принцип като при предишното действие (10/1000)
C - печалбите са равни на двадесет рубли. Намерете вероятността, тя е равна на 0,05.
Останалите билети не представляват интерес за нас, тъй като техният награден фонд е по-малък от посочения в условието. Нека приложим четвъртата аксиома: Вероятността да спечелите поне двадесет рубли е P(A)+P(B)+P(C). Буквата P обозначава вероятността за настъпване на това събитие, вече ги открихме в предишните стъпки. Остава само да добавим необходимите данни, в отговора получаваме 0, 061. Това число ще бъде отговорът на въпроса на заданието.
Палубе карти
Проблемите на теорията на вероятностите могат да бъдат по-сложни, например вземете следната задача. Пред вас е тесте от тридесет и шест карти. Вашата задача е да изтеглите две карти подред, без да смесвате купчината, първата и втората карта трябва да са аса, боята няма значение.
Първо, нека намерим вероятността първата карта да бъде асо, за това разделяме четири на тридесет и шест. Оставиха го настрана. Изваждаме втората карта, тя ще бъде асо с вероятност от три тридесет и пети. Вероятността за второто събитие зависи от това коя карта сме изтеглили първа, която ни интересувабеше асо или не. От това следва, че събитие B зависи от събитие A.
Следващата стъпка е да намерим вероятността за едновременно изпълнение, тоест умножаваме A и B. Техният продукт се намира по следния начин: вероятността за едно събитие се умножава по условната вероятност за друго, което изчисляваме, като приемем, че се е случило първото събитие, тоест с първата карта изтеглихме асо.
За да стане всичко ясно, нека дадем обозначение на такъв елемент като условна вероятност за събитие. Изчислява се, като се приеме, че е настъпило събитие А. Изчислява се, както следва: P(B/A).
Продължете да решавате нашия проблем: P(AB)=P(A)P(B/A) или P (AB)=P(B)P(A/B). Вероятността е (4/36)((3/35)/(4/36). Изчислете чрез закръгляване до стотни. Имаме: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Вероятността да изтеглим две аса подред е девет стотни Стойността е много малка, от това следва, че вероятността за настъпване на събитието е изключително малка.
Забравен номер
Предлагаме да анализираме още няколко варианта за задачи, които се изучават от теорията на вероятностите. Вече видяхте примери за решаване на някои от тях в тази статия, нека се опитаме да решим следния проблем: момчето забрави последната цифра от телефонния номер на приятеля си, но тъй като обаждането беше много важно, той започна да набира всичко на свой ред. Трябва да изчислим вероятността той да се обади не повече от три пъти. Решението на проблема е най-просто, ако са известни правилата, законите и аксиомите на теорията на вероятностите.
Преди гледанерешение, опитайте се да го решите сами. Знаем, че последната цифра може да бъде от нула до девет, тоест има общо десет стойности. Вероятността да получите правилния е 1/10.
След това трябва да разгледаме опциите за произхода на събитието, да предположим, че момчето е познало правилно и веднага е отбелязало правилния, вероятността за такова събитие е 1/10. Вторият вариант: първото обаждане е пропуснато, а второто е в целта. Изчисляваме вероятността за такова събитие: умножете 9/10 по 1/9, в резултат получаваме и 1/10. Третият вариант: първото и второто обаждане се оказаха на грешен адрес, само от третото момчето стигна там, където искаше. Изчисляваме вероятността за такова събитие: умножаваме 9/10 по 8/9 и по 1/8 получаваме 1/10 в резултат. Според условието на задачата други варианти не ни интересуват, така че остава да сумираме резултатите, в резултат имаме 3/10. Отговор: Вероятността момчето да се обади не повече от три пъти е 0,3.
Карти с числа
Пред вас има девет карти, на всяка от които е изписано число от едно до девет, числата не се повтарят. Те се поставят в кутия и се разбъркват добре. Трябва да изчислите вероятността
- ще се появи четно число;
- двуцифрено.
Преди да пристъпим към решението, нека уговорим, че m е броят на успешните случаи, а n е общият брой на опциите. Намерете вероятността числото да е четно. Няма да е трудно да се изчисли, че има четири четни числа, това ще бъде нашето m, има общо девет опции, тоест m=9. Тогава вероятносттаравно на 0, 44 или 4/9.
Помислете за втория случай: броят на опциите е девет и изобщо не може да има успешни резултати, тоест m е равно на нула. Вероятността изтеглената карта да съдържа двуцифрено число също е нула.
