Изучаването на теорията на вероятностите започва с решаване на задачи за събиране и умножение на вероятностите. Струва си да се спомене веднага, че при овладяване на тази област на знания ученикът може да срещне проблем: ако физическите или химичните процеси могат да бъдат представени визуално и разбрани емпирично, тогава нивото на математическа абстракция е много високо и разбирането тук идва само с опит.
Въпреки това играта си заслужава свещта, защото формулите - както разгледани в тази статия, така и по-сложните - днес се използват навсякъде и може да са полезни в работата.
Произход
Колкото и да е странно, тласъкът за развитието на този раздел от математиката беше … хазартът. Всъщност зарове, хвърляне на монета, покер, рулетка са типични примери, които използват събиране и умножение на вероятности. На примера със задачи във всеки учебник това може да се види ясно. Хората се интересуваха да научат как да увеличат шансовете си за печалба и трябва да кажа, че някои успяха в това.
Например, вече в 21-ви век, един човек, чието име няма да разкриваме,използва това знание, натрупано през вековете, за буквално да „почисти“казиното, спечелвайки няколко десетки милиона долара на рулетка.
Въпреки нарасналия интерес към темата, едва през 20-ти век е разработена теоретична рамка, която прави „theorver“пълноправен компонент на математиката. Днес, в почти всяка наука, можете да намерите изчисления с помощта на вероятностни методи.
Приложимост
Важен момент при използване на формули за събиране и умножение на вероятностите, условната вероятност е изпълнимостта на централната гранична теорема. В противен случай, въпреки че може да не бъде осъзнато от ученика, всички изчисления, колкото и правдоподобни да изглеждат, ще бъдат неправилни.
Да, силно мотивираният учащ се изкушава да използва нови знания при всяка възможност. Но в този случай трябва да се забави малко и да се очертае стриктно обхвата на приложимост.
Теорията на вероятностите се занимава със случайни събития, които в емпиричен план са резултати от експерименти: можем да хвърлим шестостранна зар, да изтеглим карта от тесте, да предвидим броя на дефектните части в партидата. Въпреки това, в някои въпроси е категорично невъзможно да се използват формули от този раздел на математиката. Ще обсъдим особеностите на разглеждането на вероятностите за събитие, теоремите за събиране и умножение на събития в края на статията, но засега нека се обърнем към примери.
Основни понятия
Случайно събитие означава някакъв процес или резултат, който може да се появи или нев резултат на експеримента. Например хвърляме сандвич - може да падне масло нагоре или масло надолу. Всеки от двата резултата ще бъде произволен и ние не знаем предварително кой от тях ще се случи.
Когато изучаваме събиране и умножение на вероятностите, имаме нужда от още две концепции.
Съвместни събития са онези събития, настъпването на едно от които не изключва настъпването на другото. Да кажем, че двама души стрелят по мишена едновременно. Ако единият от тях направи успешен изстрел, това няма да повлияе на способността на другия да улучи или пропусне.
Непоследователни ще бъдат такива събития, чието настъпване е едновременно невъзможно. Например, като издърпате само една топка от кутията, не можете да получите едновременно синьо и червено.
Обозначение
Концепцията за вероятност се обозначава с латинската главна буква P. Следват в скоби аргументи, обозначаващи някои събития.
Във формулите на теоремата за събиране, условна вероятност, теорема за умножение ще видите изрази в скоби, например: A+B, AB или A|B. Те ще бъдат изчислени по различни начини, сега ще се обърнем към тях.
Допълнение
Нека разгледаме случаите, в които се използват формули за събиране и умножение.
За несъвместими събития е подходяща най-простата формула за събиране: вероятността за всеки от произволните резултати ще бъде равна на сумата от вероятностите на всеки от тези резултати.
Да предположим, че има кутия с 2 сини, 3 червени и 5 жълти балона. В кутията има общо 10 артикула. Какъв е процентът на истинността на твърдението, че ще изтеглим синя или червена топка? Ще бъде равно на 2/10 + 3/10, тоест петдесет процента.
В случай на несъвместими събития, формулата става по-сложна, тъй като се добавя допълнителен член. Ще се върнем към него в един параграф, след като разгледаме още една формула.
Умножение
Добавянето и умножаването на вероятностите за независими събития се използват в различни случаи. Ако според условието на експеримента сме доволни от един от двата възможни резултата, ще изчислим сумата; ако искаме да получим два определени резултата един след друг, ще прибегнем до използване на различна формула.
Връщайки се към примера от предишния раздел, искаме първо да нарисуваме синята топка и след това червената. Първото число, което знаем, е 2/10. Какво се случва след това? Остават 9 топки, остават още същия брой червени - три парчета. Според изчисленията получавате 3/9 или 1/3. Но какво да правим с две числа сега? Правилният отговор е да умножите, за да получите 2/30.
Съвместни събития
Сега можем да преразгледаме формулата за суми за съвместни събития. Защо се отклоняваме от темата? За да научите как се умножават вероятностите. Сега това знание ще ви бъде полезно.
Вече знаем какви ще бъдат първите два члена (същите като във формулата за събиране, разгледана по-рано), сега трябва да извадимпроизведението на вероятностите, които току-що сме се научили да изчисляваме. За по-голяма яснота пишем формулата: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Оказва се, че и събирането, и умножението на вероятностите се използват в един израз.
Да кажем, че трябва да решим някой от двата проблема, за да получим кредит. Можем да решим първото с вероятност 0,3, а второто - 0,6 Решение: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Обърнете внимание, че простото сумиране на числата тук няма да е достатъчно.
Условна вероятност
Накрая, има концепцията за условна вероятност, аргументите на която са посочени в скоби и разделени с вертикална черта. Записът P(A|B) гласи както следва: „вероятност за събитие A дадено събитие B“.
Нека да разгледаме пример: приятел ви дава някакво устройство, нека то да бъде телефон. Може да бъде счупен (20%) или добър (80%). Можете да поправите всяко устройство, което попадне в ръцете ви с вероятност 0,4 или не можете да го направите (0,6). И накрая, ако устройството е в работно състояние, можете да стигнете до точния човек с вероятност от 0,7.
Лесно е да се види как работи условната вероятност в този случай: не можете да се свържете с човек, ако телефонът е повреден, и ако е добър, не е нужно да го поправяте. По този начин, за да получите някакви резултати на "второ ниво", трябва да знаете кое събитие е било изпълнено на първото.
Изчисления
Нека разгледаме примери за решаване на задачи за събиране и умножение на вероятности, използвайки данните от предишния параграф.
Първо, нека намерим вероятността, че виеремонтирайте даденото ви устройство. За да направите това, първо, той трябва да е дефектен, и второ, трябва да се справите с ремонта. Това е типичен проблем за умножение: получаваме 0,20,4=0,08.
Каква е вероятността веднага да се свържете с правилния човек? По-лесно от просто: 0,80,7=0,56. В този случай сте установили, че телефонът работи и успешно се обади.
Накрая, помислете за този сценарий: получихте счупен телефон, поправихте го, след това набрахте номера и човекът от противоположния край отговори на телефона. Тук вече е необходимо умножението на три компонента: 0, 20, 40, 7=0, 056.
А какво ще стане, ако имате два неработещи телефона наведнъж? Колко вероятно е да поправите поне един от тях? Това е проблем за събиране и умножение на вероятностите, тъй като се използват съвместни събития. Решение: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Внимателна употреба
Както беше споменато в началото на статията, използването на теорията на вероятностите трябва да бъде съзнателно и съзнателно.
Колкото по-голяма е серия от експерименти, толкова по-близо теоретично прогнозираната стойност се доближава до практическата. Например хвърляме монета. Теоретично, знаейки за съществуването на формули за събиране и умножение на вероятностите, можем да предвидим колко пъти ще паднат глави и опашки, ако проведем експеримента 10 пъти. Направихме експеримент иПо съвпадение съотношението на изпуснатите страни беше 3 към 7. Но ако проведете серия от 100, 1000 или повече опита, се оказва, че графиката на разпределението се доближава все по-близо до теоретичната: 44 към 56, 482 до 518 и така нататък.
Сега си представете, че този експеримент се провежда не с монета, а с производството на някакво ново химическо вещество, вероятността за което не знаем. Щяхме да проведем 10 експеримента и ако не получим успешен резултат, бихме могли да обобщим: „вещество не може да бъде получено“. Но кой знае, ако направихме единадесетия опит, щяхме ли да постигнем целта или не?
Така че, ако отивате в неизвестното, неизследваното царство, теорията на вероятността може да не е приложима. Всеки следващ опит в този случай може да бъде успешен и обобщения като "X не съществува" или "X е невъзможно" ще бъдат преждевременни.
Заключителна дума
И така, разгледахме два вида събиране, умножение и условни вероятности. С по-нататъшно изучаване на тази област е необходимо да се научим да разграничаваме ситуациите, когато се използва всяка конкретна формула. Освен това трябва да разберете дали вероятностните методи са общоприложими за решаване на вашия проблем.
Ако практикувате, след известно време ще започнете да извършвате всички необходими операции изключително в ума си. За тези, които обичат игрите с карти, това умение може да се има предвидизключително ценен - ще увеличите значително шансовете си за печалба, само като изчислите вероятността конкретна карта или боя да изпадне. Въпреки това, придобитите знания могат лесно да бъдат приложени в други области на дейност.
