Линията и равнината са двата най-важни геометрични елемента, които могат да се използват за конструиране на различни форми в 2D и 3D пространство. Помислете как да намерите разстоянието между успоредни прави и успоредни равнини.
Математическа задача права линия
От училищния курс по геометрия е известно, че в двуизмерна правоъгълна координатна система може да се посочи линия в следната форма:
y=kx + b.
Където k и b са числа (параметри). Писмената форма на представяне на права в равнина е равнина, която е успоредна на оста z в триизмерното пространство. С оглед на това в тази статия за математическото присвояване на права линия ще използваме по-удобна и универсална форма - векторна.
Да приемем, че нашата права е успоредна на някакъв вектор u¯(a, b, c) и минава през точката P(x0, y0, z0). В този случай във векторна форма неговото уравнение ще бъде представено, както следва:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Тук λ е произволно число. Ако изрично представим координатите чрез разширяване на писмения израз, тогава ще получим параметрична форма на изписване на права линия.
Удобно е да се работи с векторно уравнение при решаване на различни задачи, при които е необходимо да се определи разстоянието между успоредните прави.
Линии и разстоянието между тях
Има смисъл да се говори за разстоянието между линиите само когато те са успоредни (в триизмерния случай има и ненулево разстояние между изкривените линии). Ако линиите се пресичат, тогава е очевидно, че те са на нулево разстояние една от друга.
Разстоянието между успоредните прави е дължината на перпендикуляра, който ги свързва. За да определите този индикатор, достатъчно е да изберете произволна точка на една от правите и да пуснете перпендикуляр от нея към друга.
Нека опишем накратко процедурата за намиране на желаното разстояние. Да предположим, че знаем векторните уравнения на две линии, които са представени в следния общ вид:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Конструирайте успоредник на тези прави, така че едната от страните да е PQ, а другата, например, u. Очевидно височината на тази фигура, изтеглена от точката P, е дължината на необходимия перпендикуляр. За да го намерите, можете да приложите следното простоформула:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Тъй като разстоянието между правите линии е дължината на перпендикулярния сегмент между тях, то според писмения израз е достатъчно да се намери модулът на векторното произведение на PQ¯ и u¯ и резултатът да се раздели на дължината на вектора u¯.
Пример за задача за определяне на разстоянието между прави линии
Две прави линии са дадени от следните векторни уравнения:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
От писмените изрази става ясно, че имаме две успоредни прави. Всъщност, ако умножим по -1 координатите на вектора на посоката на първия ред, получаваме координатите на вектора на посоката на втория ред, което показва техния паралелизъм.
Разстоянието между правите линии ще бъде изчислено по формулата, написана в предишния параграф на статията. Имаме:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Тогава получаваме:
|u¯|=√14см;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 см.
Забележете, че вместо точки P и Q, абсолютно всички точки, които принадлежат на тези линии, могат да бъдат използвани за решаване на проблема. В този случай ще получим същото разстояние d.
Задаване на равнина в геометрията
Въпросът за разстоянието между редовете беше разгледан подробно по-горе. Сега нека покажем как да намерим разстоянието между успоредните равнини.
Всеки представя какво е самолет. Според математическата дефиниция посоченият геометричен елемент е колекция от точки. Освен това, ако съставите всички възможни вектори, използвайки тези точки, тогава всички те ще бъдат перпендикулярни на един единствен вектор. Последният обикновено се нарича нормал към равнината.
За уточняване на уравнението на равнина в триизмерно пространство най-често се използва общата форма на уравнението. Изглежда така:
Ax + By + Cz + D=0.
Где главните латински букви са някои цифри. Удобно е да се използва този вид равнинно уравнение, тъй като в него са дадени изрично координатите на нормалния вектор. Те са A, B, C.
Лесно е да се види, че две равнини са успоредни само когато техните нормали са успоредни.
Как да намеря разстоянието между две успоредни равнини ?
За да определите определеното разстояние, трябва ясно да разберете какво е заложено. Разстоянието между равнините, които са успоредни една на друга, се разбира като дължината на отсечката, перпендикулярна на тях. Краищата на този сегмент принадлежат на равнини.
Алгоритъмът за решаване на подобни проблеми е прост. За да направите това, трябва да намерите координатите на абсолютно всяка точка, която принадлежи на една от двете равнини. След това трябва да използвате тази формула:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Тъй като разстоянието е положителна стойност, знакът на модула е в числителя. Написаната формула е универсална, тъй като ви позволява да изчислите разстоянието от равнината до абсолютно всеки геометричен елемент. Достатъчно е да знаете координатите на една точка от този елемент.
За пълнота отбелязваме, че ако нормалите на две равнини не са успоредни една на друга, тогава тези равнини ще се пресичат. Тогава разстоянието между тях ще бъде нула.
Проблемът за определяне на разстоянието между равнините
Известно е, че две равнини се дават със следните изрази:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Необходимо е да се докаже, че равнините са успоредни, както и да се определи разстоянието между тях.
За да отговорите на първата част от задачата, трябва да приведете първото уравнение в общ вид. Обърнете внимание, че той е даден в така наречената форма на уравнение в сегменти. Умножете лявата и дясната му част по 15 и преместете всички членове от едната страна на уравнението, получаваме:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Нека напишем координатите на два нормални вектора на равнините:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Може да се види, че ако n2¯ се умножи по 5, тогава ще получим точно координатите n1¯. Така разглежданите самолети сапаралелно.
За да изчислите разстоянието между успоредните равнини, изберете произволна точка от първата от тях и използвайте горната формула. Например, нека вземем точката (0, 0, 1), която принадлежи на първата равнина. Тогава получаваме:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Желаното разстояние е 31 мм.
Разстояние между равнина и линия
Предоставените теоретични знания също ни позволяват да решим проблема за определяне на разстоянието между права линия и равнина. Вече беше споменато по-горе, че формулата, която е валидна за изчисления между равнините, е универсална. Може да се използва и за решаване на проблема. За да направите това, просто изберете всяка точка, която принадлежи на дадена линия.
Основният проблем при определяне на разстоянието между разглежданите геометрични елементи е доказателството за техния паралелизъм (ако не, то d=0). Паралелизмът е лесен за доказване, ако изчислите скаларното произведение на нормалата и вектора на посоката за правата. Ако разглежданите елементи са успоредни, тогава това произведение ще бъде равно на нула.
