Равнински уравнения. Ъгъл между две равнини

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Равнината, заедно с точка и права линия, е основен геометричен елемент. С неговото използване се изграждат много фигури в пространствената геометрия. В тази статия ще разгледаме по-подробно въпроса как да намерим ъгъл между две равнини.

Концепция

Преди да говорим за ъгъла между две равнини, трябва да разберете добре за какъв елемент в геометрията говорим. Нека разберем терминологията. Равнината е безкрайна колекция от точки в пространството, свързвайки които получаваме вектори. Последният ще бъде перпендикулярен на някакъв вектор. Обикновено се нарича нормал към равнината.

Фигурата по-горе показва равнина и два нормални вектора към нея. Вижда се, че и двата вектора лежат на една и съща права линия. Ъгълът между тях е 180o.

Уравнения

Ъгълът между две равнини може да се определи, ако е известно математическото уравнение на разглеждания геометричен елемент. Има няколко вида такива уравнения,чиито имена са изброени по-долу:

• общ тип;
• вектор;
• в сегменти.

Тези три вида са най-удобни за решаване на различни видове проблеми, така че те се използват най-често.

Уравнението от общ тип изглежда така:

Ax + By + Cz + D=0.

Тук x, y, z са координатите на произволна точка, принадлежаща на дадена равнина. Параметрите A, B, C и D са числа. Удобството на тази нотация се състои във факта, че числата A, B, C са координатите на вектор, нормален на равнината.

Векторната форма на равнината може да бъде представена по следния начин:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Тук (a₂, b₂, c₂) и (a ₁, b₁, c₁) - параметри на два координатни вектора, които принадлежат на разглежданата равнина. Точката (x₀, y₀, z_{0) също лежи в тази равнина. Параметрите α и β могат да приемат независими и произволни стойности.}

Накрая, уравнението на равнината в сегменти е представено в следната математическа форма:

x/p + y/q + z/l=1.

Тук p, q, l са конкретни числа (включително отрицателни). Този вид уравнение е полезно, когато е необходимо да се изобрази равнина в правоъгълна координатна система, тъй като числата p, q, l показват пресечните точки с осите x, y и zсамолет.

Забележете, че всеки тип уравнение може да се преобразува във всеки друг с помощта на прости математически операции.

Формула за ъгъла между две равнини

Сега помислете за следния нюанс. В триизмерното пространство две равнини могат да бъдат разположени само по два начина. Или се пресичат, или са успоредни. Между две равнини ъгълът е това, което се намира между техните водещи вектори (нормални). Пресичайки се, 2 вектора образуват 2 ъгъла (остър и тъп в общия случай). Ъгълът между равнините се счита за остър. Помислете за уравнението.

Формулата за ъгъла между две равнини е:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Лесно е да се досетим, че този израз е пряко следствие от скаларното произведение на нормалните вектори n₁¯ и n₂ ¯ за разглежданите равнини. Модулът на точковото произведение в числителя показва, че ъгълът θ ще приема само стойности от 0^o до 90^{o. Произведението на модулите на нормалните вектори в знаменателя означава произведението на техните дължини.}

Забележете, ако (n₁¯n_{2¯)=0, тогава равнините се пресичат под прав ъгъл.}

Примерен проблем

След като разбрахме какво се нарича ъгъл между две равнини, ще решим следния проблем. Като пример. Така че е необходимо да се изчисли ъгълът между такива равнини:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

За да решите проблема, трябва да знаете векторите на посоката на равнините. За първата равнина нормалният вектор е: n₁¯=(2, -3, 0). За да се намери вторият равнинен нормален вектор, трябва да се умножат векторите след параметрите α и β. Резултатът е вектор: n_{2¯=(5, -3, 2).}

За да определим ъгъла θ, използваме формулата от предишния параграф. Получаваме:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Изчисленият ъгъл в радиани съответства на 31,26^o. Така равнините от условието на задачата се пресичат под ъгъл 31, 26^o.