Математиката произхожда от древността. Благодарение на нея архитектурата, строителството и военната наука дадоха нов кръг на развитие, постиженията, получени с помощта на математиката, доведоха до движението на прогреса. И до днес математиката остава основната наука, която се намира във всички останали отрасли.
За да се образоват, децата от първи клас започват постепенно да се вливат в тази среда. Много е важно да разберем математиката, тъй като тя в една или друга степен се среща на всеки човек през целия му живот. Тази статия ще анализира един от ключовите елементи – намирането и прилагането на производни. Не всеки човек може да си представи колко широко се използва тази концепция. Помислете за повече от 10 приложения на производни в определени области или науки.
Прилагане на производната за изследване на функция
Производната е такъв лимитсъотношението на увеличението на функция към приращението на нейния аргумент, когато експонентът на аргумента клони към нула. Производната е незаменимо нещо при изучаването на функция. Например, може да се използва за определяне на увеличението и намаляването на последното, екстремумите, изпъкналостта и вдлъбнатината. Диференциалното смятане е включено в задължителната учебна програма за студенти от 1-ва и 2-ра година на математически университети.
Обхват и функционални нули
Първият етап от всяко изследване на графиката започва с откриване на областта на дефиниция, в по-редки случаи - стойността. Домейнът на дефиниция се задава по оста на абсцисата, с други думи, това са числови стойности по оста OX. Често обхватът вече е зададен, но ако не е, тогава стойността на аргумента x трябва да бъде оценена. Да предположим, че ако за някои стойности на аргумента функцията няма смисъл, тогава този аргумент е изключен от обхвата.
Нулите на функцията се намират по прост начин: функцията f(x) трябва да бъде приравнена на нула и полученото уравнение трябва да бъде решено по отношение на една променлива x. Получените корени на уравнението са нулите на функцията, тоест в тези x функцията е 0.
Увеличаване и намаляване
Използването на производната за изследване на функциите за монотонност може да се разглежда от две позиции. Монотонната функция е категория, която има само положителни стойности на производната или само отрицателни стойности. С прости думи, функцията само се увеличава или само намалява през целия изследван интервал:
- Увеличаване на параметъра. Функцияf(x) ще се увеличи, ако производната на f`(x) е по-голяма от нула.
- Низходящ параметър. Функцията f(x) ще намалее, ако производната на f`(x) е по-малка от нула.
Допирателна и наклон
Прилагането на производната за изследване на функция също се определя от допирателната (права линия, насочена под ъгъл) към графиката на функцията в дадена точка. Допирателна в точка (x0) - права, която минава през точка и принадлежи на функцията, чиито координати са (x0, f(x 0 )) и с наклон f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - уравнението на допирателната към дадена точка от графиката на функцията.
Геометричен смисъл на производната: производната на функцията f(x) е равна на наклона на образуваната допирателна към графиката на тази функция в дадена точка x. Ъгловият коефициент от своя страна е равен на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към оста OX (абсцисата) в положителна посока. Това следствие е основно за прилагането на производната към графиката на функция.
Екстремни точки
Прилагането на производно към изследване включва намиране на високи и ниски точки.
За да намерите и определите минималните и максималните точки, трябва:
- Намерете производната на функцията f(x).
- Задайте полученото уравнение на нула.
- Намерете корените на уравнението.
- Намерете високи и ниски точки.
За намиране на крайностихарактеристики:
- Намерете минималните и максималните точки, като използвате метода по-горе.
- Заместете тези точки в оригиналното уравнение и изчислете ymax и ymin
Максималната точка на функцията е най-голямата стойност на функцията f(x) на интервала, с други думи xmax.
Минималната точка на функцията е най-малката стойност на функцията f(x) на интервала, с други думи xname
Екстремалните точки са същите като максималната и минималната точки и екстремума на функцията (ymax. и yminimum) - стойности на функцията, които съответстват на точките на екстремум.
Изпъкналост и вдлъбнатост
Можете да определите изпъкналостта и вдлъбнатината, като прибягвате до използването на производната за начертаване:
- А функция f(x), изследвана на интервала (a, b), е вдлъбната, ако функцията е разположена под всичките й допирателни в рамките на този интервал.
- Изучаваната функция f(x) на интервала (a, b) е изпъкнала, ако функцията е разположена над всичките й допирателни вътре в този интервал.
Точката, която разделя изпъкналостта и вдлъбнатината, се нарича инфлексна точка на функцията.
За да намерите точки на прегъване:
- Намерете критични точки от втория вид (втора производна).
- Точките на прегъване са онези критични точки, които разделят два противоположни знака.
- Изчислете стойностите на функцията в точките на флексия на функцията.
Частични деривати
Приложениеима производни от този тип в задачи, където се използва повече от една неизвестна променлива. Най-често такива производни се срещат при изчертаване на функционална графика, по-точно повърхности в пространството, където вместо две оси има три, следователно, три величини (две променливи и една константа).
Основното правило при изчисляване на частични производни е да изберете една променлива и да третирате останалите като константи. Следователно, когато се изчислява частичната производна, константата става като числова стойност (в много таблици с производни те са обозначени като C=const). Значението на такава производна е скоростта на промяна на функцията z=f(x, y) по осите OX и OY, тоест тя характеризира стръмността на вдлъбнатините и издутините на конструираната повърхност.
Производно във физиката
Използването на производната във физиката е широко разпространено и важно. Физически смисъл: производната на пътя по отношение на времето е скоростта, а ускорението е производната на скоростта по отношение на времето. От физическото значение много клонове могат да бъдат привлечени към различни клонове на физиката, като същевременно се запазва напълно значението на производната.
С помощта на производната се намират следните стойности:
- Скорост в кинематиката, където се изчислява производната на изминатото разстояние. Ако се намери втората производна на пътя или първата производна на скоростта, тогава се намира ускорението на тялото. Освен това е възможно да се намери моментната скорост на материална точка, но за това е необходимо да се знае приращението ∆t и ∆r.
- В електродинамиката:изчисляване на моментната сила на променливия ток, както и на ЕМП на електромагнитната индукция. Чрез изчисляване на производната можете да намерите максималната мощност. Производната на количеството електрически заряд е силата на тока в проводника.
Производна по химия и биология
Химия: Производното се използва за определяне на скоростта на химическа реакция. Химичното значение на производната: функция p=p(t), в този случай p е количеството вещество, което влиза в химическа реакция за време t. ∆t - нарастване на времето, ∆p - увеличение на количеството вещество. Границата на съотношението ∆p към ∆t, при която ∆t клони към нула, се нарича скорост на химическа реакция. Средната стойност на химическа реакция е съотношението ∆p/∆t. При определяне на скоростта е необходимо да се знаят точно всички необходими параметри, условия, да се знае агрегатното състояние на веществото и течащата среда. Това е доста голям аспект в химията, който се използва широко в различни индустрии и човешки дейности.
Биология: концепцията за производно се използва за изчисляване на средната скорост на възпроизвеждане. Биологично значение: имаме функция y=x(t). ∆t - приращение на времето. След това с помощта на някои трансформации получаваме функцията y`=P(t)=x`(t) - жизнената активност на популацията за време t (средна скорост на възпроизвеждане). Това използване на производната ви позволява да поддържате статистика, да проследявате скоростта на възпроизвеждане и т.н.
Производна по география и икономика
Производната позволява на географите да решаватзадачи като намиране на население, изчисляване на стойности в сеизмографията, изчисляване на радиоактивност на ядрени геофизични индикатори, изчисляване на интерполация.
В икономиката важна част от изчисленията е диференциалното смятане и изчисляването на производната. На първо място, това ни позволява да определим границите на необходимите икономически стойности. Например най-висока и най-ниска производителност на труда, разходи, печалби. По принцип тези стойности се изчисляват от функционални графики, където намират екстремуми, определят монотонността на функцията в желаната област.
Заключение
Ролята на това диференциално смятане е включена, както е отбелязано в статията, в различни научни структури. Използването на производни функции е важен елемент в практическата част на науката и производството. Не напразно ни учеха в гимназията и университета да изграждаме сложни графики, да изследваме и работим върху функции. Както можете да видите, без производни и диференциални изчисления би било невъзможно да се изчислят жизненоважни показатели и количества. Човечеството се е научило да моделира различни процеси и да ги изследва, да решава сложни математически проблеми. Всъщност математиката е кралицата на всички науки, защото тази наука е в основата на всички други природни и технически дисциплини.
