В курса на компютърните науки, независимо от училище или университет, специално място се отделя на такова понятие като бройни системи. По правило за него се отделят няколко урока или практически упражнения. Основната цел е не само да се научат основните понятия по темата, да се изучават видовете бройни системи, но и да се запознаят с двоична, осмична и шестнадесетична аритметика.
Какво означава това?
Нека започнем с дефиницията на основното понятие. Както се отбелязва в учебника по компютърни науки, числовата система е система от записване на числа, която използва специална азбука или специфичен набор от числа.
В зависимост от това дали стойността на една цифра се променя от нейната позиция в числото, се разграничават две: позиционна и непозиционна бройна система.
В позиционните системи стойността на цифра се променя с нейната позиция в числото. И така, ако вземем числото 234, тогава числото 4 в него означава единици, но ако вземем предвид числото 243, то тук вече ще означава десетки, а не единици.
В непозиционни системистойността на една цифра е статична, независимо от нейната позиция в числото. Най-яркият пример е системата с пръчки, където всяка единица е обозначена с тире. Без значение къде зададете пръчката, стойността на числото ще се промени само с една.
Непозиционни системи
Непозиционните числови системи включват:
- Единична система, която се счита за една от първите. Използваше пръчки вместо числа. Колкото повече имаше, толкова по-голяма беше стойността на числото. Можете да срещнете пример за написани по този начин числа във филми, където говорим за хора, изгубени в морето, затворници, които отбелязват всеки ден с помощта на прорези върху камък или дърво.
- Римски, в който вместо цифри са използвани латински букви. Използвайки ги, можете да напишете произволно число. В същото време стойността му беше определена чрез сбора и разликата от цифрите, съставляващи числото. Ако има по-малко число вляво от цифрата, тогава лявата цифра се изважда от дясната и ако цифрата вдясно е по-малка или равна на цифрата отляво, тогава техните стойности се сумират нагоре. Например числото 11 беше написано като XI, а 9 като IX.
- Азбучен, в който числата са били обозначени с помощта на азбуката на определен език. Една от тях е славянската система, в която редица букви имаха не само фонетична, но и числова стойност.
- Вавилонска числова система, която използва само два символа за писане - клинове и стрелки.
- Египет също използва специални знаци за представяне на числа. Когато се пише число, всеки знак може да се използва не повече от девет пъти.
Позиционни системи
Много внимание се отделя в компютърните науки на позиционните бройни системи. Те включват следното:
- двоичен;
- осмичен;
- десетично;
- шестнадесетичен;
- шестнадесетичен, използван при броене на времето (например в минута - 60 секунди, в час - 60 минути).
Всяка от тях има своя собствена азбука за писане, правила за превод и аритметични операции.
Десична система
Тази система е най-позната за нас. Той използва числа от 0 до 9 за запис на числа. Наричат се още арабски. В зависимост от позицията на цифрата в числото може да означава различни цифри – единици, десетки, стотици, хиляди или милиони. Използваме го навсякъде, знаем основните правила, по които се извършват аритметичните операции над числата.
Двоична система
Една от основните бройни системи в компютърните науки е двоична. Неговата простота позволява на компютъра да извършва тромави изчисления няколко пъти по-бързо, отколкото в десетичната система.
За записване на числа се използват само две цифри - 0 и 1. В същото време, в зависимост от позицията на 0 или 1 в числото, неговата стойност ще се промени.
Първоначално компютрите получават цялата необходима информация с помощта на двоичен код. В същото време едно означаваше наличието на сигнал, предаван чрез напрежение, а нула означаваше неговото отсъствие.
Осмсистема
Друга добре позната компютърна числова система, в която се използват числа от 0 до 7. Използвана е предимно в онези области на знанието, които са свързани с цифровите устройства. Но напоследък се използва много по-рядко, тъй като е заменен от шестнадесетичната бройна система.
BCD
Представянето на големи числа в двоичната система за човек е доста сложен процес. За да се опрости, е разработена двоично-десетична бройна система. Обикновено се използва в електронни часовници, калкулатори. В тази система не цялото число се преобразува от десетичната система в двоична, а всяка цифра се превежда в съответния набор от нули и единици в двоичната система. Същото важи и за преобразуването от двоичен в десетичен. Всяка цифра, представена като четирицифрен набор от нули и единици, се превежда в цифра в десетичната бройна система. По принцип няма нищо сложно.
За работа с числа в този случай е полезна таблица с числови системи, която ще указва съответствието между числата и техния двоичен код.
шестнадесетичен
Напоследък шестнадесетичната бройна система става все по-популярна в програмирането и компютърните науки. Използва не само числа от 0 до 9, но и редица латински букви - A, B, C, D, E, F.
В същото време всяка от буквите има свое собствено значение, така че A=10, B=11, C=12 и т.н. Всяко число е представено като набор от четири знака:001F.
Преобразуване на числа: от десетичен в двоичен
Преводът в числови системи става според определени правила. Най-често срещаното преобразуване от двоичен в десетичен и обратно.
За да преобразувате число от десетично в двоично, е необходимо последователно да го разделите на основата на числовата система, тоест на числото две. В този случай остатъкът от всяко деление трябва да бъде фиксиран. Това ще продължи, докато остатъкът от деленето стане по-малък или равен на единица. Най-добре е изчисленията да се извършват в колона. След това получените остатъци от разделянето се записват в низа в обратен ред.
Например, нека преобразуваме числото 9 в двоично:
Разделяме 9, тъй като числото не се дели равномерно, тогава вземаме числото 8, остатъкът ще бъде 9 - 1=1.
След разделянето на 8 на 2 получаваме 4. Разделяме го отново, тъй като числото е равномерно - получаваме остатъка 4 - 4=0.
Извършете същата операция с 2. Остатъкът е 0.
В резултат на деление получаваме 1.
След това записваме всички салда, които получихме в обратен ред, започвайки от общото разделение: 1001.
Независимо от крайната бройна система, преобразуването на числата от десетични във всякакви други ще се извършва съгласно принципа на разделяне на числото на основата на позиционната система.
Превод на числа: от двоичен в десетичен
Доста лесно е да преобразувате числата в десетични от двоични. За да направите това, достатъчно е да знаете правилата за повишаване на числата в степен. В товаслучай на степен две.
Алгоритъмът за превод е както следва: всяка цифра от кода на двоично число трябва да се умножи по две, като първите две ще бъдат в степен m-1, втората - m-2 и така нататък, където m е броят на цифрите в кода. След това добавете резултатите от събирането, като получите цяло число.
За ученици този алгоритъм може да бъде обяснен по-просто:
За начало вземаме и записваме всяка цифра, умножена по две, след което записваме степента на две от края, започвайки от нула. След това добавете полученото число.
Например, нека да разгледаме полученото по-рано число 1001, като го преобразуваме в десетична система и в същото време да проверим правилността на нашите изчисления.
Ще изглежда така:
123 + 022+021+ 120=8+0+0+1=9.
Когато изучавате тази тема, е удобно да използвате таблица със степени по две. Това значително ще намали времето, необходимо за завършване на изчисленията.
Други преводи
В някои случаи преводът може да се извърши между двоичен и осмичен, двоичен и шестнадесетичен. В този случай можете да използвате специални таблици или да стартирате приложението калкулатор на вашия компютър, като изберете опцията „Програмист“в раздела Преглед.
Аритметични операции
Независимо от формата, в която е представено числото, с него е възможно да се извършват обичайните изчисления. Това може да бъде деление и умножение, изваждане и събиране в бройната система,които сте избрали. Разбира се, всеки от тях има свои собствени правила.
Така че за двоичната система разработи свои собствени таблици за всяка от операциите. Същите таблици се използват в други позиционни системи.
Не е нужно да ги запомняте - просто ги разпечатайте и ги дръжте под ръка. Можете също да използвате калкулатора на вашия компютър.
Една от най-важните теми в компютърните науки е числовата система. Познаването на тази тема, разбирането на алгоритмите за прехвърляне на числа от една система в друга е гаранция, че ще можете да разберете по-сложни теми, като алгоритмизация и програмиране, и ще можете сами да напишете първата си програма.
