Нерешимите задачи са 7 най-интересни математически задачи. Всеки от тях е предложен наведнъж от известни учени, като правило, под формата на хипотези. В продължение на много десетилетия математиците по целия свят ламаха мозъците си за своето решение. Тези, които успеят, ще бъдат възнаградени с милион щатски долара, предложени от Clay Institute.
Предишна история
През 1900 г. великият немски математик Давид Хилберт представи списък с 23 задачи.
Изследванията, извършени за решаването им, оказаха огромно влияние върху науката на 20-ти век. В момента повечето от тях са престанали да бъдат мистерии. Сред нерешените или частично решени бяха:
- проблем с последователността на аритметичните аксиоми;
- общ закон за реципрочността върху пространството на произволно числово поле;
- математическо изследване на физическите аксиоми;
- изследване на квадратични форми за произволни алгебрични числовикоефициенти;
- проблемът за строга обосновка на изчислителната геометрия на Фьодор Шуберт;
- и др.
Неизследвани са: проблемът за разширяване на добре познатата теорема на Кронекер до всяка алгебрична област на рационалността и хипотезата на Риман.
The Clay Institute
Това е името на частна организация с нестопанска цел със седалище в Кеймбридж, Масачузетс. Тя е основана през 1998 г. от математика от Харвард А. Джефи и бизнесмена Л. Клей. Целта на Института е да популяризира и развива математическите знания. За да постигне това, организацията дава награди на учени и спонсори на обещаващи изследвания.
В началото на 21-ви век Институтът по математика на Клей предложи награда на онези, които решават известни като най-трудните нерешими проблеми, наричайки списъка си Проблеми с наградата на хилядолетието. Само хипотезата на Риман беше включена в списъка на Хилберт.
Предизвикателства на хилядолетието
Списъкът на Clay Institute първоначално включва:
- хипотеза за цикъла на Ходж;
- квантови уравнения на Ян-Милс;
- хипотезата на Поанкаре;
- проблемът за равенството на класовете P и NP;
- хипотеза на Риман;
- уравнения на Навие-Стокс, относно съществуването и гладкостта на техните решения;
- проблем с Бърч-Суинертън-Дайър.
Тези отворени математически задачи представляват голям интерес, тъй като могат да имат много практически реализации.
Какво доказа Григорий Перелман
През 1900 г. известният философ Анри Поанкаре предполага, че всяко едносвързано компактно 3-многообразие без граница е хомеоморфно на 3-измерна сфера. Неговото доказателство в общия случай не е намерено цял век. Едва през 2002-2003 г. петербургският математик Г. Перелман публикува редица статии с решение на проблема на Поанкаре. Те имаха ефекта на експлодираща бомба. През 2010 г. хипотезата на Поанкаре беше изключена от списъка на „Нерешените проблеми“на Института на Клей, а на самия Перелман беше предложено да получи значително възнаграждение, което му се дължи, което последният отказа, без да обясни причините за своето решение.
Най-разбираемото обяснение на това, което руският математик е успял да докаже, може да се даде, като си представим, че гумен диск се изтегля върху поничка (тор) и след това се опитват да издърпат ръбовете на кръга му в една точка. Очевидно това не е възможно. Друго нещо, ако направите този експеримент с топка. В този случай една привидно триизмерна сфера, получена от диск, чиято обиколка е била изтеглена до точка от хипотетична връв, би била триизмерна в разбирането на обикновения човек, но двуизмерна от гледна точка на математиката.
Poincare предположи, че триизмерната сфера е единственият триизмерен „обект”, чиято повърхност може да бъде свита до една точка, и Перелман успя да го докаже. По този начин списъкът с "нерешими проблеми" днес се състои от 6 проблема.
Теория на Ян-Милс
Този математически проблем е предложен от неговите автори през 1954 г. Научната формулировка на теорията е следната:за всяка проста компактна габаритна група съществува квантовата пространствена теория, създадена от Янг и Милс, и в същото време има нулев масов дефект.
Говорейки на разбираем за обикновен човек език, взаимодействията между природни обекти (частици, тела, вълни и т.н.) се разделят на 4 вида: електромагнитни, гравитационни, слаби и силни. В продължение на много години физиците се опитват да създадат обща теория на полето. Тя трябва да се превърне в инструмент за обяснение на всички тези взаимодействия. Теорията на Янг-Милс е математически език, с който стана възможно да се опишат 3 от 4-те основни природни сили. Не се отнася за гравитацията. Следователно не може да се счита, че Янг и Милс са успели да създадат теория на полето.
Освен това, нелинейността на предложените уравнения ги прави изключително трудни за решаване. За малки константи на свързване те могат да бъдат приблизително решени под формата на серия от теория на смущенията. Все още обаче не е ясно как тези уравнения могат да бъдат решени със силно свързване.
Уравнения на Навие-Стокс
Тези изрази описват процеси като въздушни течения, флуиден поток и турбуленция. За някои специални случаи вече са намерени аналитични решения на уравнението на Навие-Стокс, но досега никой не е успял да направи това за общия. В същото време числените симулации за конкретни стойности на скорост, плътност, налягане, време и т.н. могат да постигнат отлични резултати. Остава да се надяваме, че някой ще успее да приложи уравненията на Навие-Стокс обратнопосока, т.е. изчислете параметрите, като ги използвате, или докажете, че няма метод за решение.
проблем с Бърч-Суинертън-Дайър
Категорията "Нерешени проблеми" включва и хипотезата, предложена от британски учени от университета в Кеймбридж. Още преди 2300 години древногръцкият учен Евклид дава пълно описание на решенията на уравнението x2 + y2=z2.
Ако за всяко просто число преброим броя на точките на кривата по модул, получаваме безкраен набор от цели числа. Ако специално го „залепите“в 1 функция на комплексна променлива, тогава получавате зета функцията на Хасе-Вайл за крива от трети порядък, обозначена с буквата L. Тя съдържа информация за поведението по модул на всички прости числа наведнъж.
Brian Birch и Peter Swinnerton-Dyer предположиха за елиптичните криви. Според него структурата и броят на множеството от нейните рационални решения са свързани с поведението на L-функцията при тъждество. Недоказаното в момента предположение на Бърч-Суинертън-Дайър зависи от описанието на алгебрични уравнения от 3-та степен и е единственият относително прост общ начин за изчисляване на ранга на елиптичните криви.
За да се разбере практическото значение на тази задача, е достатъчно да се каже, че в съвременната криптография цял клас асиметрични системи се основават на елиптични криви, а националните стандарти за цифров подпис се основават на тяхното приложение..
Равенство на класовете p и np
Ако останалите предизвикателства на хилядолетието са чисто математически, то това евръзка с действителната теория на алгоритмите. Проблемът за равенството на класовете p и np, известен също като проблемът на Кук-Левин, може да бъде формулиран на разбираем език, както следва. Да предположим, че положителен отговор на определен въпрос може да бъде проверен достатъчно бързо, т.е. за полиномиално време (PT). Тогава правилно ли е твърдението, че отговорът на него може да бъде намерен доста бързо? Още по-просто този проблем звучи така: наистина ли не е по-трудно да се провери решението на проблема, отколкото да се намери? Ако някога се докаже равенството на класовете p и np, тогава всички проблеми с избора могат да бъдат решени за PV. В момента много експерти се съмняват в истинността на това твърдение, въпреки че не могат да докажат обратното.
Хипотеза на Риман
До 1859 г. не е открит модел, който да описва как простите числа се разпределят между естествените числа. Може би това се дължи на факта, че науката се занимаваше с други въпроси. Въпреки това, до средата на 19-ти век ситуацията се промени и те се превърнаха в едни от най-важните, с които математиката започва да се занимава.
Хипотезата на Риман, която се появи през този период, е предположението, че има определен модел в разпределението на простите числа.
Днес много съвременни учени смятат, че ако се докаже, тогава ще е необходимо да се преразгледат много от основните принципи на съвременната криптография, които формират основата на значителна част от механизмите на електронната търговия.
Според хипотезата на Риман, характерътразпределението на простите числа може да бъде значително различно от това, което се приема в момента. Факт е, че досега не е открита система в разпределението на простите числа. Например има проблемът за "близнаците", разликата между които е 2. Тези числа са 11 и 13, 29. Други прости числа образуват клъстери. Това са 101, 103, 107 и т.н. Учените отдавна подозират, че такива клъстери съществуват сред много големи прости числа. Ако бъдат намерени, тогава силата на съвременните крипто ключове ще бъде под въпрос.
Хипотеза за цикъла на Ходж
Този все още нерешен проблем е формулиран през 1941 г. Хипотезата на Ходж предполага възможността за приближаване на формата на всеки обект чрез "залепване" на прости тела с по-високи размери. Този метод е познат и успешно използван от дълго време. Не е известно обаче до каква степен може да се направи опростяване.
Сега знаете какви неразрешими проблеми съществуват в момента. Те са обект на изследване на хиляди учени от цял свят. Остава да се надяваме, че те ще бъдат разрешени в близко бъдеще и тяхното практическо приложение ще помогне на човечеството да влезе в нов кръг на технологично развитие.
