Системи с числа - какво е това? Дори и без да знае отговора на този въпрос, всеки от нас неволно използва в живота си бройни системи и не подозира за това. Точно така, множествено число! Тоест не един, а няколко. Преди да дадете примери за непозиционни числови системи, нека разберем този въпрос, нека да поговорим и за позиционните системи.
Необходима е фактура
Още от древни времена хората са имали нужда от броене, тоест интуитивно са осъзнавали, че трябва по някакъв начин да изразят количествена визия за нещата и събитията. Мозъкът предположи, че е необходимо да се използват предмети за броене. Пръстите винаги са били най-удобни и това е разбираемо, защото винаги са на разположение (с редки изключения).
Така че древните представители на човешката раса е трябвало да огъват пръстите си в буквалния смисъл - да посочат броя на убитите мамути, например. Такива елементи на акаунта все още нямаха имена, а само визуална картина, сравнение.
Модерни позиционни числови системи
Числовата система е метод (начин) за представяне на количествени стойности и количества с помощта на определени знаци (символи или букви).
Необходимо е да разберете какво е позиционно и непозиционно при броенето, преди да дадете примери за непозиционни бройни системи. Има много позиционни бройни системи. Сега в различни области на знанието се използват следните: двоичен (включва само два значими елемента: 0 и 1), шестнадесетичен (брой знаци - 6), осмичен (символи - 8), дванадесетичен (дванадесет знака), шестнадесетичен (включва шестнадесет) символи). Освен това всеки ред от знаци в системите започва от нула. Съвременните компютърни технологии се основават на използването на двоични кодове - двоичната позиционна бройна система.
Десична бройна система
Позиционалност е наличието на значими позиции в различна степен, върху които са разположени знаците на числото. Това може да се демонстрира най-добре с примера на десетичната бройна система. В крайна сметка ние сме свикнали да го използваме от детството. В тази система има десет знака: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Вземете числото 327. То има три знака: 3, 2, 7. Всеки от тях се намира в собствена позиция (място). Седемте заемат позиция, запазена за единични стойности (единици), двете - десетки, а трите - стотици. Тъй като числото е трицифрено, в него има само три позиции.
Въз основа на горното, товатрицифрено десетично число може да бъде описано по следния начин: триста, две десетки и седем единици. Освен това значимостта (важността) на позициите се брои от ляво на дясно, от слаба позиция (една) до по-силна (стотици).
Чувстваме се много комфортно в десетичната позиционна бройна система. Имаме десет пръста на ръцете си и същото на краката. Пет плюс пет - така че, благодарение на пръстите, лесно си представяме дузина от детството. Ето защо е лесно за децата да научат таблицата за умножение за пет и десет. Освен това е толкова лесно да се научите как да броите банкноти, които най-често са кратни (тоест разделени без остатък) на пет и десет.
Други позиционни числови системи
За изненада на мнозина трябва да се каже, че не само в десетичната система за броене, мозъкът ни е свикнал да прави някои изчисления. Досега човечеството използва шест и дванадесетични бройни системи. Тоест в такава система има само шест знака (в шестнадесетичен): 0, 1, 2, 3, 4, 5. В дванадесетични има дванадесет от тях: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, където A - означава числото 10, B - числото 11 (тъй като знакът трябва да е един).
Преценете сами. Ние броим времето по шестици, нали? Един час е шестдесет минути (шест десетки), един ден е двадесет и четири часа (два пъти дванадесет), годината е дванадесет месеца и така нататък… Всички времеви интервали лесно се вписват в шест- и дванадесетични редове. Но ние сме толкова свикнали с него, че дори не мислим за това, когато броим времето.
Непозиционни числови системи. Единична
Трябва да се дефинира какво представлява - непозиционна бройна система. Това е такава знакова система, в която няма позиции за знаците на число, или принципът на "четене" на число не зависи от позицията. Освен това има свои собствени правила за писане или изчисляване.
Нека дадем примери за непозиционни бройни системи. Да се върнем в древността. Хората имаха нужда от акаунт и измислиха най-простото изобретение - възлите. Непозиционната бройна система е нодуларна. Един артикул (торба с ориз, бик, купа сено и т.н.) беше преброен, например, при покупка или продажба и завързван на възел на връв.
В резултат на това, толкова възли бяха направени на въжето, толкова торби с ориз бяха закупени (като пример). Но може да са и прорези върху дървена пръчка, върху каменна плоча и т.н. Такава бройна система стана известна като нодуларна. Тя има второ име - единично или единично ("uno" на латински означава "едно").
Става очевидно, че тази бройна система не е позиционна. Все пак за какви позиции може да говорим, когато тя (позицията) е само една! Колкото и да е странно, в някои части на Земята унарната непозиционна бройна система все още се използва.
Също така, непозиционните числови системи включват:
- Римски (буквите се използват за писане на числа - латински знаци);
- древноегипетски (подобно на римски, символи също са използвани);
- азбучен (използвани са буквите от азбуката);
- вавилонски (клинопис - използва се директно иобърнат "клин");
- гръцки (наричан още азбучен).
Римска числова система
Древната Римска империя, както и нейната наука, са били много прогресивни. Римляните дадоха на света много полезни изобретения на науката и изкуството, включително тяхната система за броене. Преди двеста години римските цифри са били използвани за обозначаване на суми в бизнес документи (по този начин се избягва фалшифицирането).
Римската номерация е пример за непозиционна бройна система, ние я знаем сега. Също така римската система се използва активно, но не за математически изчисления, а за тясно фокусирани действия. Например, с помощта на римски числа е обичайно да се обозначават исторически дати, векове, номера на томове, раздели и глави в публикациите на книги. Римските знаци често се използват за украса на циферблатите на часовниците. Освен това римската номерация е пример за непозиционна бройна система.
Римляните са означавали числата с латински букви. Освен това те записаха числата според определени правила. Има списък с ключови символи в римската цифрова система, с помощта на която са записани всички числа без изключение.
| Число (десетично) | Римска цифра (буква на латинската азбука) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Правила за съставяне на числа
Необходимото число се получава чрез добавяне на знаци (латински букви) и изчисляване на тяхната сума. Нека разгледаме как символично се изписват знаците в римската система и как трябва да се „четат“. Нека изброим основните закони за образуване на числа в римската непозиционна бройна система.
- Числото четири - IV, се състои от два знака (I, V - едно и пет). Получава се чрез изваждане на по-малкия знак от по-големия, ако е отляво. Когато по-малкият знак се намира вдясно, трябва да добавите, тогава получавате числото шест - VI.
- Необходимо е да добавите два еднакви знака един до друг. Например: SS е 200 (C е 100), или XX е 20.
- Ако първият знак на число е по-малък от втория, тогава третият знак в този ред може да бъде знак, чиято стойност е дори по-малка от първата. За да избегнете объркване, ето един пример: CDX - 410 (в десетичен знак).
- Някои големи числа могат да бъдат представени по различни начини, което е един от недостатъците на римската система за броене. Ето няколко примера: MVM (римски)=1000 + (1000 - 5)=1995 (десетичен) или MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. И това не е всичко.
Аритметични трикове
Непозиционната бройна система понякога е сложен набор от правила за образуване на числа, тяхната обработка (действия върху тях). Аритметичните операции в непозиционни бройни системи не са лесниза съвременните хора. Не завиждаме на древните римски математици!
Пример за добавяне. Нека се опитаме да добавим две числа: XIX + XXVI=XXXV, тази задача се изпълнява на две стъпки:
- Първо - вземете и добавете по-малките дроби от числа: IX + VI=XV (I след V и I преди X се "унищожават" взаимно).
- Втора - добавете големи дроби от две числа: X + XX=XXX.
Изваждането е малко по-сложно. Числото, което трябва да бъде намалено, трябва да бъде разделено на съставните му елементи, а след това дублираните знаци да бъдат намалени в числото, което трябва да се намали и да се извадят. Извадете 263 от 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Умножение на римски числа. Между другото, трябва да се спомене, че римляните не са имали знаци за аритметични операции, просто са ги обозначавали с думи.
Множественото число трябваше да се умножи по всеки отделен символ на множителя, което доведе до няколко продукта, които трябваше да се добавят. Ето как се умножават полиномите.
Що се отнася до деленето, този процес в римската цифрова система беше и остава най-трудният. Тук е използвано древноримското сметало. За да работят с него, хората бяха специално обучени (и не всеки успя да овладее такава наука).
За недостатъците на непозиционните системи
Както споменахме по-горе, непозиционните бройни системи имат своите недостатъци, неудобства при употреба. Unary е достатъчно прост за просто броене, но за аритметика и сложни изчисления не едостатъчно добре.
В римски няма единни правила за образуване на големи числа и възниква объркване, а също така е много трудно да се правят изчисления в него. Освен това най-голямото число, което древните римляни са могли да запишат с техния метод, е 100 000.
