Диагонал на равнобедрен трапец. Каква е медианата на трапеца. Видове трапец. Трапеца е

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства. Освен това ще разберем как да изчислим отделните елементи на тази геометрична фигура. Например диагоналът на равнобедрен трапец, средната линия, площта и т.н. Материалът е представен в стила на елементарната популярна геометрия, т.е. в лесно достъпна форма.

Обща информация

Първо, нека разберем какво е четириъгълник. Тази фигура е специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на четириъгълник, които не са съседни, се наричат противоположни. Същото може да се каже и за две несъседни страни. Основните видове четириъгълници са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец иделтоид.

И така, обратно към трапеца. Както вече казахме, тази фигура има две успоредни страни. Те се наричат бази. Другите две (неуспоредни) са страните. В материалите за изпити и различни тестове често могат да се намерят задачи, свързани с трапеци, чието решаване често изисква студентът да притежава знания, които не са предвидени в програмата. Училищният курс по геометрия запознава учениците със свойствата на ъглите и диагоналите, както и средната линия на равнобедрен трапец. Но в края на краищата, в допълнение към това, споменатата геометрична фигура има и други характеристики. Но повече за тях по-късно…

Видове трапец

Има много видове тази фигура. Най-често обаче е обичайно да се разглеждат два от тях - равнобедрен и правоъгълен.

1. Правоъгълният трапец е фигура, в която една от страните е перпендикулярна на основите. Двата й ъгъла винаги са деветдесет градуса.

2. Равнобедрен трапец е геометрична фигура, чиито страни са равни една на друга. Това означава, че ъглите при основите също са равни по двойки.

Основни принципи на техниката за изследване на свойствата на трапец

Основният принцип е използването на така наречения подход на задачите. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в теоретичния курс на геометрията. Те могат да бъдат открити и формулирани в процеса на решаване на различни проблеми (по-добри от системните). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи са необходими.поставени пред учениците в един или друг момент от образователния процес. Освен това, всяко свойство на трапеца може да бъде представено като ключова задача в системата от задачи.

Вторият принцип е т. нар. спирална организация на изследването на "забележителните" свойства на трапеца. Това предполага връщане в процеса на обучение към индивидуалните особености на дадена геометрична фигура. Така учениците по-лесно ги запомнят. Например, свойството на четири точки. Може да се докаже както при изследване на сходството, така и впоследствие с помощта на вектори. И равната площ на триъгълниците, съседни на страните на фигурата, може да се докаже чрез прилагане не само на свойствата на триъгълници с еднакви височини, изтеглени към страните, които лежат на една и съща права линия, но и чрез използване на формулата S=1/ 2(absinα). Освен това можете да изработите теоремата на синусите върху вписан трапец или правоъгълен триъгълник върху описан трапец и т.н.

Използването на "извънкласни" характеристики на геометрична фигура в съдържанието на училищния курс е технология за задача за преподаване. Постоянното обръщане към изучаваните свойства при преминаване през други теми позволява на учениците да получат по-задълбочени познания за трапеца и гарантира успеха при решаването на задачите. И така, нека започнем да изучаваме тази прекрасна фигура.

Елементи и свойства на равнобедрен трапец

Както вече отбелязахме, страните на тази геометрична фигура са равни. Известен е още като десен трапец. Защо е толкова забележителен и защо получи такова име?Характеристиките на тази фигура включват факта, че не само страните и ъглите в основата са равни, но и диагоналите. Също така, сборът от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапеци само около равнобедрен може да се опише кръг. Това се дължи на факта, че сборът от противоположните ъгли на тази фигура е 180 градуса и само при това условие може да се опише кръг около четириъгълника. Следващото свойство на разглежданата геометрична фигура е, че разстоянието от основния връх до проекцията на противоположния връх върху линията, която съдържа тази основа, ще бъде равно на средната линия.

Сега нека да разберем как да намерим ъглите на равнобедрен трапец. Помислете за решение на този проблем, при условие че размерите на страните на фигурата са известни.

Решение

Обикновено четириъгълник обикновено се обозначава с буквите A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равнобедрен трапец страните са равни. Ще приемем, че техният размер е X, а размерите на основите са Y и Z (съответно по-малки и по-големи). За да се извърши изчислението, е необходимо да се начертае височина H от ъгъл B. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са катета. Изчисляваме размера на крака AN: изваждаме по-малкия от по-голямата основа и разделяме резултата на 2. Записваме го под формата на формула: (Z-Y) / 2 \u003d F. Сега, за да изчислим остър ъгъл на триъгълника, използваме функцията cos. Получаваме следния запис: cos(β)=Х/F. Сега изчисляваме ъгъла: β=arcos (Х/F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да определим ивторо, за това извършваме елементарна аритметична операция: 180 - β. Всички ъгли са дефинирани.

Има и второ решение на този проблем. В началото спускаме височината H от ъгъла B. Изчисляваме стойността на крака BN. Знаем, че квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катета. Получаваме: BN \u003d √ (X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: β=arctg (BN / F). Намерен е остър ъгъл. След това дефинираме тъп ъгъл, подобно на първия метод.

Свойство на диагоналите на равнобедрен трапец

Първо, нека запишем четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

- височината на фигурата ще бъде равна на сумата от основите, разделена на две;

- височината и средната линия са равни;

- площта на трапеца ще бъде равна на квадрата на височината (средната линия, половината от сбора на основите);

- квадратът на диагонала е равен на половината от квадрата от сбора на основите или два пъти квадрата на средната линия (височина).

Сега разгледайте формулите, които определят диагонала на равнобедрен трапец. Този блок информация може условно да бъде разделен на четири части:

1. Формулата за дължината на диагонала по отношение на неговите страни.

Приемаме, че A е долната основа, B е горната основа, C е равни страни, D е диагоналът. В този случай дължината може да се определи, както следва:

D=√(C2+AB).

2. Формули за дължината на диагонала според косинусовата теорема.

Приемаме, че A е долната основа, B е горната основа, C са равни страни, D е диагоналът, α (в долната основа) и β (в горната основа)- трапецовидни ъгли. Получаваме следните формули, с които можете да изчислите дължината на диагонала:

- D=√(A2+C2-2ACcosα);

- D=√(A2+C2-2ACcosβ);

- D=√(B2+C2-2BCcosβ);

- D=√(B2+C2-2BCcosα).

3. Формули за дължината на диагоналите на равнобедрен трапец.

Приемаме, че A е долната основа, B е горната основа, D е диагоналът, M е средната линия, H е височината, P е площта на трапеца, α и β са ъглите между диагоналите. Определете дължината, като използвате следните формули:

- D=√(M2+H2);

- D=√(H2+(A+B)2/4);

- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).

За този случай равенството е вярно: sinα=sinβ.

4. Формули за дължината на диагонала по отношение на страните и височината.

Приемаме, че A е долната основа, B е горната основа, C е страните, D е диагоналът, H е височината, α е ъгълът при долната основа.

Определете дължината, като използвате следните формули:

- D=√(Н2+(А-Рctgα)2);

- D=√(Н2+(В+Рctgα)2);

- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).

Елементи и свойства на правоъгълен трапец

Нека да разгледаме какво е интересно в тази геометрична фигура. Както казахме, правоъгълният трапец има два прави ъгъла.

Освен класическата дефиниция има и други. Например, правоъгълен трапец е трапец с едната страна, перпендикулярна на основите. Или фигура, която има прави ъгли отстрани. Товатип трапец, височината е равна на страната, която е перпендикулярна на основите. Средната линия е сегмент, който свързва средните точки на двете страни. Свойството на споменатия елемент е, че е успореден на основите и равен на половината от тяхната сума.

Сега нека разгледаме основните формули, които определят тази геометрична фигура. За да направим това, приемаме, че A и B са бази; C (перпендикулярно на основите) и D - страни на правоъгълен трапец, M - средна линия, α - остър ъгъл, P - площ.

1. Страничната страна, перпендикулярна на основите, е равна на височината на фигурата (C \u003d H) и е равна на произведението на дължината на втората страна D и синуса на ъгъла α с по-голяма основа (C \u003d Dsin α). Освен това е равно на произведението на тангенса на остър ъгъл α и разликата между основите: С=(А-Б)tgα.

2. Страничната страна D (не перпендикулярна на основите) е равна на коефициента на разликата между A и B и косинуса (α) на остър ъгъл или на коефициента на височината на фигурата H и синуса на остър ъгъл: D \u003d (A-B) / cos α=C / sin α.

3. Страничната страна, която е перпендикулярна на основите, е равна на корен квадратен от разликата на квадрата D - втората страна - и квадрата на разликата на основите:

C=√(D2-(A-B)2).

4. Страната D на правоъгълен трапец е равна на корен квадратен от сбора на квадрата на страна C и квадрата на разликата между основите на геометричната фигура: D=√(C2+(A-B)2).

5. Страничната страна C е равна на частното от разделянето на двойната площ на сумата от нейните основи: C=P / M=2P / (A + B).

6. Площта се определя от произведението на M (средната линия на правоъгълен трапец) и височината илистрана, перпендикулярна на основите: P=MN \u003d MS.

7. Страната C е равна на делението на удвоената площ на фигурата на произведението на синуса на остър ъгъл и сумата от неговите основи: C \u003d P / Msinα=2P / ((A + B)sinα).

8. Формули на страничната страна на правоъгълен трапец по отношение на неговите диагонали и ъгъла между тях:

- sinα=sinβ;

- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, където D1 и D2 са диагоналите на трапеца; α и β са ъглите между тях.

9. Формули за странична страна през ъгъла при долната основа и други страни: D=(A-B) / cosα=C / sinα=H / sinα.

Тъй като трапец с прав ъгъл е специален случай на трапец, останалите формули, които дефинират тези фигури, също ще съответстват на правоъгълен.

Свойства на вписаната окръжност

Ако условието казва, че кръг е вписан в правоъгълен трапец, тогава могат да се използват следните свойства:

- сумата от основите е равна на сумата от страните;

- разстоянията от върха на правоъгълна фигура до допирните точки на вписаната окръжност винаги са равни;

- височината на трапеца е равна на страната, перпендикулярна на основите и равна на диаметъра на окръжността;

- центърът на окръжността е точката, където се пресичат симетралите на ъгъла;

- ако страничната страна е разделена от точката на контакт на сегменти H и M, тогава радиусът на окръжността е равен на корен квадратен от произведението на тези сегменти;

- четириъгълник, образуван от допирателните точки, върха на трапеца и центъра на вписаната окръжност еквадрат, чиято страна е равна на радиуса;

- площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението на половината от сбора на основите и нейната височина.

Подобен трапец

Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на тази геометрична фигура. Например, диагоналите разделят трапеца на четири триъгълника, като тези, съседни на основите, са подобни, а тези, съседни на страните, са равни. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълниците, на които е разделен трапецът от своите диагонали. Първата част от това твърдение се доказва чрез критерия за подобие в два ъгъла. За доказване на втората част е по-добре да използвате метода по-долу.

Доказателство на теоремата

Приемаме, че фигурата ABSD (AD и BS са основите на трапеца) е разделена на диагоналите VD и AC. Тяхната пресечна точка е O. Получаваме четири триъгълника: AOS - в долната основа, BOS - в горната основа, ABO и SOD в страните. Триъгълниците SOD и BOS имат обща височина, ако отсечките BO и OD са техните основи. Получаваме, че разликата между техните площи (P) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS / PSOD=BO / OD=K. Следователно, PSOD=PBOS / K. По същия начин триъгълниците BOS и AOB имат обща височина. Вземаме отсечките CO и OA за техни бази. Получаваме PBOS / PAOB \u003d CO / OA=K и PAOB \u003d PBOS / K. От това следва, че PSOD=PAOB.

За консолидиране на материала учениците се съветват да намерят връзка между площите на получените триъгълници, на които трапецът е разделен по диагоналите си, като решат следната задача. Известно е, четриъгълниците BOS и AOD са равни, трябва да намерите площта на трапеца. Тъй като PSOD=PAOB, това означава, че PABSD=PBOS + PAOD + 2PSOD. От сходството на триъгълниците BOS и AOD следва, че BO / OD=√ (PBOS / PAOD). Следователно PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD). Получаваме PSOD=√ (PBOSPAOD). Тогава PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.

Подобни имоти

Продължавайки да развиваме тази тема, можем да докажем други интересни характеристики на трапецоидите. И така, използвайки сходството, можете да докажете свойството на сегмент, който минава през точка, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За целта решаваме следната задача: необходимо е да се намери дължината на отсечката RK, която минава през точка O. От сходството на триъгълниците AOD и BOS следва, че AO/OS=AD/BS. От сходството на триъгълниците AOP и ASB следва, че AO / AS=RO / BS=AD / (BS + AD). От тук получаваме, че RO=BSAD / (BS + AD). По същия начин, от сходството на триъгълниците DOK и DBS, следва, че OK=BSAD / (BS + AD). От тук получаваме, че RO=OK и RK=2BSAD/(BS+AD). Отсечката, минаваща през пресечната точка на диагоналите, успоредна на основите и свързваща двете страни, се разделя на пресечната точка наполовина. Дължината му е средната хармонична на основите на фигурата.

Помислете за следното свойство на трапец, което се нарича свойство на четири точки. Пресечните точки на диагоналите (O), пресечните точки на продължението на страните (E), както и средните точки на основите (T и W) винаги лежат на една и съща права. Това лесно се доказва чрез метода на сходството. Получените триъгълници BES и AED са подобни и ввсяка от тях, медианите ET и EZH разделят ъгъла при връх E на равни части. Следователно точките E, T и W лежат на една и съща права линия. По същия начин на една и съща права се намират точките T, O и G. Всичко това следва от сходството на триъгълниците BOS и AOD. От това заключаваме, че и четирите точки - E, T, O и W - ще лежат на една права линия.

Използвайки подобни трапеци, учениците могат да бъдат помолени да намерят дължината на сегмента (LF), който разделя фигурата на две подобни. Този сегмент трябва да е успореден на основите. Тъй като получените трапеци ALFD и LBSF са сходни, то BS/LF=LF/AD. От това следва, че LF=√(BSBP). Получаваме, че отсечката, която разделя трапеца на две подобни, има дължина, равна на средната геометрична дължина на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на сходство. Той се основава на сегмент, който разделя трапеца на две фигури с еднакъв размер. Приемаме, че трапецът ABSD е разделен от отсечката EN на две подобни. От връх B се пропуска височината, която се разделя от отсечката EH на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD / 2=(BS + EH)B1 / 2=(AD + EH)B2 / 2 и PABSD \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. След това съставяме система, чието първо уравнение е (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2 и второто (BS + EH)B1=(BS + HELL)(B1 + B2) / 2. От това следва, че B2/ B1=(BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1). Получаваме, че дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на средния квадрат на дължината на основите: √((BS2+AD2)/2).

Изводи за сходство

По този начин доказахме, че:

1. Сегментът, свързващ средните точки на страничните страни при трапеца, е успореден на AD и BS и е равен насредноаритметичната стойност на BS и BP (дължината на основата на трапеца).

2. Линията, минаваща през точка O на пресечната точка на диагоналите, успоредни на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична стойност на числата AD и BS (2BSAD/(BS+AD)).

3. Отсечката, разделяща трапеца на подобни, има дължината на средната геометрична стойност на основите BS и AD.

4. Елементът, разделящ фигурата на две равни, има дължината на средните квадратни числа AD и BS.

За да консолидира материала и да разбере връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги изгради за конкретен трапец. Той може лесно да покаже средната линия и сегмента, който минава през точката O - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредно на основите. Но къде ще бъдат третият и четвъртият? Този отговор ще накара ученика да открие желаната връзка между средните стойности.

Сегментът, свързващ средните точки на диагоналите на трапец

Разгледайте следното свойство на тази фигура. Приемаме, че отсечката MH е успоредна на основите и разполовява диагоналите. Нека наречем пресечните точки W и W. Този сегмент ще бъде равен на полуразликата на основите. Нека анализираме това по-подробно. MSH - средната линия на триъгълника ABS, тя е равна на BS / 2. MS - средната линия на триъгълника ABD, тя е равна на AD / 2. Тогава получаваме, че ShSh=MSh-MSh, следователно, ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.

Център на тежестта

Нека да разгледаме как този елемент е дефиниран за дадена геометрична фигура. За да направите това, е необходимо да разширите основите в противоположни посоки. Какво означава? Необходимо е да добавите долната основа към горната основа - вот двете страни, например, вдясно. И долната част е удължена с дължината на горната част вляво. След това ги свързваме с диагонал. Точката на пресичане на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вписани и описани трапеци

Нека изброим характеристиките на такива фигури:

1. Трапецът може да бъде вписан в кръг само ако е равнобедрен.

2. Трапец може да бъде описан около окръжност, при условие че сумата от дължините на техните основи е равна на сумата от дължините на страните.

Последствия от вписания кръг:

1. Височината на описания трапец винаги е равна на два радиуса.

2. Страничната страна на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.

Първото следствие е очевидно, но за доказване на второто е необходимо да се установи, че ъгълът на SOD е прав, което всъщност също няма да е трудно. Но познаването на това свойство ще позволи използването на правоъгълен триъгълник при решаване на задачи.

Сега уточняваме тези последствия за равнобедрен трапец, който е вписан в окръжност. Получаваме, че височината е средното геометрично на основите на фигурата: H=2R=√(BSAD). Практикувайки основната техника за решаване на задачи за трапец (принципа на изчертаване на две височини), ученикът трябва да реши следната задача. Приемаме, че BT е височината на равнобедрена фигура ABSD. Необходимо е да се намерят сегменти AT и TD. Използвайки формулата по-горе, това не би трябвало да е трудно.

Сега нека да разберем как да определим радиуса на окръжност, използвайки площта на описания трапец. Отпадане от връх Bвисочина до основата на кръвното налягане. Тъй като кръгът е вписан в трапец, тогава BS + AD \u003d 2AB или AB \u003d (BS + AD) / 2. От триъгълника ABN намираме sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN=2R. Получаваме PABSD=(BS + AD)R, следва, че R=PABSD / (BS + AD).