Призмата е полиедър или полиедър, който се изучава в училищния курс по геометрия на твърдото тяло. Едно от важните свойства на този полиедър е неговият обем. Нека разгледаме в статията как може да се изчисли тази стойност и също така да дадем формулите за обема на призмите - правилни четириъгълни и шестоъгълни.
Призма в стереометрията
Тази фигура се разбира като полиедър, който се състои от два еднакви многоъгълника, разположени в успоредни равнини, и от няколко паралелограма. За някои видове призми паралелограмите могат да представляват правоъгълни четириъгълници или квадрати. По-долу е даден пример за така наречената петоъгълна призма.
За да изградите фигура, както е на фигурата по-горе, трябва да вземете петоъгълник и да извършите паралелното му прехвърляне на определено разстояние в пространството. Свързвайки страните на два петоъгълника с помощта на паралелограм, получаваме желаната призма.
Всяка призма се състои от лица, върхове и ръбове. Върховете на призматаза разлика от пирамидата, са равни, всяка от тях се отнася до една от двете бази. Лицата и ръбовете са два вида: тези, които принадлежат на основите и тези, които принадлежат на страните.
Призмите са няколко вида (правилни, наклонени, изпъкнали, прави, вдлъбнати). Нека разгледаме по-нататък в статията по каква формула се изчислява обемът на призмата, като се вземе предвид формата на фигурата.
Общ израз за определяне на обема на призма
Независимо от кой тип принадлежи изследваната фигура, дали е права или наклонена, правилна или неправилна, има универсален израз, който ви позволява да определите нейния обем. Обемът на пространствената фигура е площта на пространството, която е затворена между нейните лица. Общата формула за обема на призмата е:
V=So × h.
Тук So представлява площта на основата. Трябва да се помни, че говорим за една основа, а не за две. Стойността h е височината. Височината на изследваната фигура се разбира като разстоянието между нейните идентични основи. Ако това разстояние съвпада с дължините на страничните ребра, тогава се говори за права призма. В права фигура всички страни са правоъгълници.
По този начин, ако призмата е наклонена и има многоъгълник с неправилна основа, тогава изчисляването на нейния обем става по-сложно. Ако фигурата е права, тогава изчисляването на обема се свежда само до определяне на площта на основата So.
Определяне на обема на обикновена фигура
Регулярна е всяка призма, която е права и има многоъгълна основа със страни и ъгли, равни една на друга. Например, такива правилни многоъгълници са квадрат и равностранен триъгълник. В същото време ромбът не е правилна фигура, тъй като не всичките му ъгли са равни.
Формулата за обема на правилна призма недвусмислено следва от общия израз за V, който беше написан в предишния параграф на статията. Преди да продължите да пишете съответната формула, е необходимо да определите площта на правилната основа. Без да навлизаме в математически подробности, представяме формулата за определяне на посочената площ. Той е универсален за всеки редовен n-ъгъл и има следната форма:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Както можете да видите от израза, площта Sn е функция на два параметъра. Едно цяло число n може да приема стойности от 3 до безкрайност. Стойността a е дължината на страната на n-ъгълника.
За да се изчисли обемът на фигура, е необходимо само да се умножи площта S по височината h или по дължината на страничния ръб b (h=b). В резултат на това стигаме до следната работеща формула:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Забележете, че за да определите обема на призма от произволен тип, трябва да знаете няколко количества (дължини на страните на основата, височина, двустранни ъгли на фигурата), но за да изчислите стойността V на редовна призма, трябва да знаем само два линейни параметъра, например a и h.
Обемът на четириъгълна правилна призма
Четириъгълна призма се нарича паралелепипед. Ако всичките му лица са равни и са квадрати, тогава такава фигура ще бъде куб. Всеки ученик знае, че обемът на правоъгълен паралелепипед или куб се определя чрез умножаване на трите му различни страни (дължина, височина и ширина). Този факт следва от писмения общ израз за обем за обикновена фигура:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Тук котангенсът от 45° е равен на 1. Забележете, че равенството на височината h и дължината на страната на основата a автоматично води до формулата за обема на куб.
Обем на шестоъгълна правилна призма
Сега приложете горната теория, за да определите обема на фигура с шестоъгълна основа. За да направите това, просто трябва да замените стойността n=6 във формулата:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Писменият израз може да бъде получен независимо, без да се използва универсалната формула за S. За да направите това, трябва да разделите правилния шестоъгълник на шест равностранни триъгълника. Страната на всеки от тях ще бъде равна на a. Площта на един триъгълник съответства на:
S3=√3/4 × a2.
Умножавайки тази стойност по броя на триъгълниците (6) и по височината, получаваме горната формула за обема.
